第 2 课时 均值不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点)2．会用均值不等式求解实际应用题．(难点)1.通过均值不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．(1)某养殖场要用 100 米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000 平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？已知 x，y 都是正数．(1)若 x＋y＝S(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值.(2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．[拓展] 在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可．一正：各项必须为正数．例如，求代数式 x＋的最值时，不能直接用 x＋≥2＝2.取特殊值 x＝－1，x＋＝－2，可见 x＋的最小值不为 2，产生错误的原因是这里的 x 不一定为正数只有各项为正数时才能利用均值不等式．二定：积或和为定值．积为定值和有最小值；和为定值积有最大值．为了利用均值不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．例如：① 当 x＞2 时，x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当 x＝3 时，等号成立).② 当 0＜x＜时，x(8－3x)＝(3x)(8－3x)≤＝(当且仅当 x＝时，等号成立).三相等：等号能否取到．例如，＋中，虽然与的积为定值 1，但是当＝时，有 x2＝－1不成立．所以＋≥2 中等号不成立，即此时不能用均值不等式求最值．另外，在连续使用公式求最值时，取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次等号成立的字母取值存在且一致．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．( )(2)若 a>0，b>0 且 a＋b＝4，则 ab≤4.( )(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋≥2，所以函数 y 的最小值是 2.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×[提示] (1)由 a＋b≥2 可知正确．(2)由 ab≤＝4 可知正确．(3)不是常数，故错误．2．已知 a，b∈R，则“ab＞0”是“＋＞2”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B [ab＞0 时，＞0，＞0，∴＋≥2，当且仅当 a＝b 时取等号，故充分性不成立．反之， ＋＞2，∴－2＞0，∴＞...
