高中数学 第1章 立体几何初步 1-6-2 垂直关系的性质学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案VIP专享

6.2 垂直关系的性质1．直线和平面垂直的性质定理2.平面和平面垂直的性质定理判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面．( )(2)垂直于同一平面的两个平面平行．( )(3)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．即 α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β⇒bα.( )(4)如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内的所有直线都垂直于平面 β.( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×题型一直线与平面垂直的性质定理【典例 1】 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AB⊥平面 PAD，AD＝AP，E 是 PD 的中点，M，N 分别在 AB，PC 上，且 MN⊥AB，MN⊥PC. 求证：AE∥MN. [思路导引] 由 MN⊥AB，MN⊥PC，可推出 MN⊥平面 PCD，要证 AE∥MN，只需证明 AE⊥平面 PCD 即可．[证明] 因为 AB⊥平面 PAD，AE平面 PAD，所以 AE⊥AB，又 AB∥CD，所以 AE⊥CD.因为 AD＝AP，E 是 PD 的中点，所以 AE⊥PD.又 CD∩PD＝D，所以 AE⊥平面 PCD.因为 MN⊥AB，AB∥CD，所以 MN⊥CD.又因为 MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以 MN⊥平面 PCD，所以 AE∥MN.证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．[针对训练 1] 如图，已知平面 α∩平面 β＝l，EA⊥α，垂足为 A，EB⊥β，垂足为B，直线 aβ，a⊥AB.求证：a∥l.[证明] 因为 EA⊥α，α∩β＝l，即 lα，所以 l⊥EA.同理 l⊥EB.又 EA∩EB＝E，所以 l⊥平面 EAB.因为 EB⊥β，aβ，所以 EB⊥a，又 a⊥AB，EB∩AB＝B，所以 a⊥平面 EAB.由线面垂直的性质定理，得 a∥l.题型二平面与平面垂直的性质定理及应用【典例 2】 如图，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，平面 PAB⊥平面 PBC.求证：BC⊥AB.[思路导引] 由 PA⊥平面 ABC 得 PA⊥BC，要证 BC⊥AB，只需证明 BC⊥平面 PAB.[证明] 如图，在平面 PAB 内，作 AD⊥PB 于 D. 平面 PAB⊥平面 PBC，且平面 PAB∩平面 PBC＝PB.∴AD⊥平面 PBC.又 BC平面 PBC，∴AD⊥BC.又 PA⊥平面 ABC，BC平面 ABC，∴...