第 3 章 导数应用利用导数研究函数的单调性【例 1】 设函数 f(x)＝x－－aln x(a∈R)，讨论 f(x)的单调性．思路探究：→[解] 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝1＋－＝.令 g(x)＝x2－ax＋1，则对于方程 x2－ax＋1＝0，Δ＝a2－4.(1)当－2≤a≤2 时，Δ≤0，f′(x)≥0，只有当 a＝2，x＝1 或 a＝－2，x＝－1 时，等号成立，故函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)当 a<－2 时，Δ>0，g(x)＝0 的两根都小于 0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则在(0，＋∞)上 g(x)>g(0)＝1，所以 f′(x)>0，故函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(3)当 a>2 时，Δ>0，g(x)＝0 的两根为 x1＝，x2＝.当 00；当 x1x2时，f′(x)>0.故函数 f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．综上，当 a≤2 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当 a>2 时，函数 f(x)在，上单调递增，在上单调递减．利用导数研究单调性的步骤利用导数研究函数的单调性是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求函数的定义域，并求导；(2)研究导函数 f′(x)的符号，解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0；(3)确定函数的单调性或单调区间．在求导这一环节中，往往要将导函数变形，其目的在于方便下一环节研究导函数的符号，常见的措施有化为基本初等函数、通分、因式分解等．1．已知函数 f(x)＝x3－ax－1，讨论 f(x)的单调区间．[解] f′(x)＝3x2－a.(1)当 a≤0 时，f′(x)≥0，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(2)当 a>0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝±，当 x>或 x<－时，f′(x)>0；1当－0 时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数.利用导数研究函数的极值与最值【例 2】 已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋b 的图像上一点 P(1,0)，且在点 P 处的切线与直线 3x＋y＝0 平行．(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)在区间[0，t](0
