曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程设 中曲面 Σ 的方程为 F (x , y , z) = 0，函数 F (x , y , z)在曲面 Σ 上点 处可微，且 ，过点 任意引一条位于曲面 Σ 上的曲线 Γ。设其方程为 ，且 对应于点 ； 不全为零。由于曲线 Γ 在 Σ 上，则有 及 。该方程表示了曲面上任意一条过点 的曲线在该点的切线都与向量 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面 Σ 在点 处的切平面. 点 称为切点. 向量 称为曲面 Σ 在点 处的一个法向量。 记为 。基本方法：1、设点 在曲面 F(x, y, z)=0 上，而 F(x, y, z)在点 处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面 F(x, y, z)=0 在点 处的切平面方程为.法线方程为.2、设点 在曲面 z = f (x, y)上，且 z = f (x, y) 在点 M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点 处的切平面方程为.过 X0的法线方程为.注：方法 2 实际上是方法 1 中取 的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点 与 uv 平面上的点（u0 , v0）对应，而 x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点 X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑 问题：曲面∑的参数方程为 x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点 与u , v 平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点 X0处的法向量？注释：设 x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点 X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0 , v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点 X0处的切向量分别为当 时，得∑在点 X0处的法向量为则∑在点 X0处的法向量为.四、典型例题 例 1 求椭球面 x2+2y2+3z2 = 6 在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解 设 F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于 在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处 ，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即 x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为 ，即 .例 2 求曲面 平行于 z = 2x+2y 的切平面方程.解 设切点为 . 曲面 ，因此 .则曲面在 处的法向量为 .曲面在点 X0处的切平面方程为又切平面与...