2.2 圆的一般方程学 习 目 标核 心 素 养1.掌握圆的一般方程．(重点)2.了解二元二次方程表示圆的条件．(难点)3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程．(难点)1.通过学习圆的一般方程及二元二次方程表示圆的条件提升数学抽象素养.2.通过求圆的一般方程及与圆有关动点的轨迹方程，培养数学运算素养. 圆的一般方程(1)圆的一般方程的定义：当 D2＋E2－4F＞0 时，称二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程．(2)方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的图形：方程条件方程的解的情况图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0没有实数解不表示任何图形D2＋E2－4F＝0只有一个实数解表示一个点D2＋E2－4F>0无数个解表示以为圆心，以 为半径的圆思考：若二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆，需满足什么条件？提示：若方程表示圆，则应满足三个条件：① A＝C≠0，② B＝0，③ D2＋E2－4AF>0.1．圆 x2＋y2－4x－1＝0 的圆心坐标及半径分别为( )A．(2,0)，5 B．(2,0)，C．(0,2)， D．(2,2)，5B [x2＋y2－4x－1＝0 可化为(x－2)2＋y2＝5，∴圆心为(2,0)，半径 r＝.]2．如果 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 是圆的方程，则实数 k 的取值范围是________． [若方程 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 表示圆，则(－2)2＋12－4k>0.∴k<.]3．圆 C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0 的圆心到直线 3x＋4y＋4＝0 的距离 d＝________.3 [圆心(1,2)到直线 3x＋4y＋4＝0 的距离为＝3.]二元二次方程与圆的关系【例 1】 判断方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径；若不能，请说明理由．[解] 法一：由方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知 D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当 m＝2 时，它表示一个点；当 m≠2 时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为 r＝＝|m－2|.法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当 m＝2 时，它表示一个点；当 m≠2 时，表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为 r＝|m－2|.解决这种类型的题目，一般要看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即1x2与 y2的系数是否相等；2不含 xy 项.当它具有圆的一般方程的特征时，再看 D2＋E2－4F>0 是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数.1．若方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 表示...
