§7 向量应用举例学 习 目 标核 心 素 养1.了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离．(重点)2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．(难点)3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.1.通过学习直线法向量的概念、点到直线的距离，培养数学抽象素养．2.通过用向量方法解决一些实际问题，提升数学建模素养.向量应用举例(1)点到直线的距离公式若 M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离为：d＝.(2)直线的法向量① 定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．② 公式：设直线 l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量 v＝(B，－A)，则直线 l 的法向量 n＝( A ， B ) ． (3)向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．思考：向量的数量积与功有什么联系？[提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．1．直线 2x－y＋1＝0 的一个法向量是( )A．(2,1)B．(－1，－2)C．(1,2)D．(2，－1)[答案] D2．若向量OF1＝(1,1)，OF2＝(－3，－2)分别表示两个力 F1，F2，则|F1＋F2|为( )A．(5,0) B．(－5,0)C.D．－[答案] C3．点 P0(－1,2)到直线 l：2x＋y－10＝0 的距离为________．[答案] 24．已知 F＝(2,3)作用一物体，使物体从 A(2,0)移动到 B(4,0)，则力 F 对物体作的功为________．[答案] 4平面几何中的垂直问题【例 1】 如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AF⊥DE.[证明] 法一：设AD＝a，AB＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0.又DE＝DA＋AE＝－a＋，AF＝AB＋BF＝b＋，所以AF·DE＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.故AF⊥DE，即 AF⊥DE.法 二 ： 如 图 所 示 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 设 正 方 形 的 边 长 为 2 ， 则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则AF＝(2,1)，DE＝(1，－2)．因为AF·DE＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0.所以AF⊥DE，即 AF⊥DE.利用向量解决垂直问题的方法和途径方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为 0.途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．1．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．[解] 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为 x 轴、y 轴建立直角坐标系．设 A(2a,0)，B(0,2a)，...
