第 2 章 平面向量平面向量的线性运算【例 1】 (1)已知向量 a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则 2a－b 的结果是( )A．(7，－2) B．(1，－2)C．(1，－3)D．(7,2)(2)设 D 为△ABC 所在平面内一点，则BD＝3CD，则( )A.AD＝－AB＋ACB.AD＝AB－ACC.AD＝AB－ACD.AD＝－AB＋AC(1)A (2)D [(1) a＝(2,1)，b＝(－3,4)，∴2a－b＝2(2,1)－(－3,4)＝(4,2)－(－3,4)＝(4＋3,2－4)＝(7，－2)，故选 A.(2) BD＝3CD，∴AD－AB＝3(AD－AC)，∴2AD＝3AC－AB，∴AD＝AC－AB.]向量线性运算的基本原则和求解策略1基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.2求解策略：① 向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.② 字符表示线性运算的常用技巧：,首尾相接用加法的三角形法则，如AB＋BC＝AC；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB－OA＝AB.③ 平行向量共线向量、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用.④ 注意常见结论的应用.如△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，则AB＋AC＝AD.1．(1)设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ＝________.(2)在△ABC 中，点 M，N 满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则 x＝________；y＝________.(1) (2) － [(1)因为 λa＋b 与 a＋2b 平行，所以 λa＋b＝t(a＋2b)，即 λa＋b＝ta＋2tb，所以解得(2)因为AM＝2MC，所以AM＝AC.因为BN＝NC，所以AN＝(AB＋AC)，所以MN＝AN－AM＝(AB＋AC)－AC＝AB－AC.又MN＝xAB＋yAC，所以 x＝，y＝－.]平面向量的数量积【例 2】 (1)设单位向量 m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若 m⊥b，则|x＋2y|＝________.(2)已知两个单位向量 a，b 的夹角 θ 为 60°，c＝ta＋(1－t)b，若 b·c＝0，则 t＝________.(1) (2)2 [(1)因为单位向量 m＝(x，y)，则 x2＋y2＝1.①若 m⊥b，则 m·b＝0，即 2x－y＝0.②由①②解得 x2＝，所以|x|＝，|x＋2y|＝5|x|＝.(2)法一：因为 b·c＝0，所以 b·[ta＋(1－t)b]＝0，即 ta·b＋(1－t)b2＝0.又因为|a|＝|b|＝1，θ＝60°，所以 t＋1－t＝0，所以 t＝2.法二：由 t＋(1－t)＝1 知向量 a，b，c 的终点 A、B、C 共线，在平面直角坐标系中设 a＝(1,...
