第 2 课时 函数的平均变化率学 习 目 标核 心 素 养1.理解斜率的含义及平均变化率的概念．(重点)2．掌握判断函数单调性的充要条件．(重点、难点)通过利用函数 f(x)的平均变化证明 f(x)在 I 上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养.1．直线的斜率(1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，当 x1≠x2时，称为直线 AB 的斜率；(若记 Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，当 Δx≠0 时，斜率记为)，当 x1＝x2时，称直线 AB 的斜率不存在．(2)作用：直线 AB 的斜率反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度．2．平均变化率与函数单调性若 I 是函数 y＝f(x)的定义域的子集，对任意 x1，x2∈I 且 x1≠x2，记 y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则(1)y＝f(x)在 I 上是增函数的充要条件是＞0 在 I 上恒成立；(2)y＝f(x)在 I 上是减函数的充要条件是＜0 在 I 上恒成立．当 x1≠x2时，称＝为函数 y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称 Δx 为自变量的改变量，Δy 为因变量的改变量．3．平均变化率的物理意义(1)把位移 s 看成时间 t 的函数 s＝s(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均速度，即＝.(2)把速度 v 看成时间 t 的函数 v＝v(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均加速度，即＝.1．已知点 A(1,0)，B(－1,1)，则直线 AB 的斜率为( )A．－ B. C．－2 D．2A [直线 AB 的斜率＝－.]2．如图，函数 y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( )A．1 B．－1 C．2 D．－2B [＝＝＝－1.]3．一次函数 y＝－2x＋3 在 R 上是________函数．(填“增”或“减”)减 [任取 x1，x2∈R 且 x1≠x2.∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2＋3，∴＝＝－2＜0，故 y＝－2x＋3 在 R 上是减函数．]4．已知函数 f(x)＝2x2＋3x－5，当 x1＝4，且 Δx＝1 时，求 Δy 的平均变化率.[解] f(x)＝2x2＋3x－5，x1＝4，x2＝x1＋Δx，∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.当 x1＝4，Δx＝1 时，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21.则＝＝21.平均变化率的计算【例 1】 一正方形铁板在 0 ℃时边长为 10 cm，加热后会膨胀，当温度为 t ℃时，边长变为 10(1＋at)cm，a 为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．[思路点拨] 由正方形的边长与面积关系列出函数表达式...
