高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

3．2 简单的三角恒等变换[教材研读]预习课本 P139～142，思考以下问题1．半角的正弦、余弦公式是什么？ 2．半角公式的符号是由哪些因素决定的？ [要点梳理]半角公式[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．sin15°＝± .( )2．cos15°＝.( )3．tan＝.( )[答案] 1.× 2.× 3.×思考：利用 tanα＝和倍角公式能得到 tan 与 sinα，cosα 怎样的关系？提示：tan＝＝＝，tan＝＝＝.已知 sinα＝－，π<α<，求 sin，cos，tan 的值．[思路导引] 由 α 是的二倍，代入半角公式，注意的范围．[解] π<α<，sinα＝－，∴cosα＝－，且<<，∴sin＝＝，cos＝－＝－，tan＝＝－2.利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．(4)下结论：结合(2)求值．【温馨提示】 已知 cosθ 的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．[跟踪训练]已知 sin－cos＝－，450°<α<540°，求 tan 的值．[解] 由题意得 2＝，即 1－sinα＝，得 sinα＝. 450°<α<540°，∴cosα＝－，∴tan＝＝＝＝＝2.化简：(180°<α<360°)．[思路导引] 利用二倍角公式将 α 角转化为角，注意被开方式子的正负．[解] 原式＝＝＝.又 180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos<0，∴原式＝＝cosα. 化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．[跟踪训练]化简－.[解] 原式＝sin＋cos－sin－cos， <θ<2π，∴<<π，∴00.∴原式＝－－＝－2sin. (1)若 π<α<，证明：＋＝－cos；(2)已知 sinα＝Asin(α＋β)，|A|>1，求证：tan(α＋β)＝.[证明] (1)左边＝＋＝＋ π<α<，∴<<，∴sin>0>cos.∴左边＝＋＝＋＝－cos＝右边．∴原等式成立．(2) sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ，∴sinα＝Asin(α＋β)化为sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)·s...