3．1 数系的扩充[学习目标] 1.了解引进虚数单位 i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．[知识链接]为解决方程 x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1 这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程 x2＝－1 在实数系中无根的问题呢？答 设想引入新数 i，使 i 是方程 x2＝－1 的根，即 i·i＝－1，方程 x2＝－1 有解，同时得到一些新数．[预习导引]1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a＋bi 的数叫做复数，其中 a，b∈R，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．(2)复数的表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z ＝ a ＋ b i .(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母 C 表示．2．复数的分类及包含关系(1)复数(a＋bi，a，b∈R)(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔a ＝ c 且 b ＝ d .要点一 复数的概念例 1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数．①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④ π；⑤－i；⑥ 0.解 ①的实部为 2，虚部为 3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为 1，是虚数；④的实部为 π，虚部为 0，是实数；⑤的实部为 0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为 0，虚部为 0，是实数．规律方法 复数 a＋bi 中，实数 a 和 b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部．跟踪演练 1 已知下列命题：① 复数 a＋bi 不是实数；② 当 z∈C 时，z2≥0；③ 若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则实数 x＝±2；④ 若复数 z＝a＋bi，则当且仅当 b≠0 时，z 为虚数；⑤ 若 a、b、c、d∈C 时，有 a＋bi＝c＋di，则 a＝c 且 b＝d.其中真命题的个数是________．答案 0解析 根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当 a∈R 且 b＝0 时，a＋bi是实数．②是假命题，如当 z＝i 时，则 z2＝－1<0，③是假命题，因为由纯虚数的条件得解得 x＝2，当 x＝－2 时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调 a，b∈R.⑤ 是假命题，只有当 a...
