2．3.2 抛物线的简单几何性质 1.通过图形理解抛物线的范围、对称性、顶点等简单性质． 2.掌握抛物线的四种位置及相应的焦点坐标和准线方程． 3.能够运用一元二次方程的根的性质解决直线与抛物线的位置关系等问题．四种标准形式的抛物线几何性质的比较类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点(，0)(－，0)(0，)(0，－)准线x＝－x＝y＝－y＝范围x ≥0 x≤0y ≥0 y≤0对称轴x 轴 y 轴 顶点(0 ， 0 ) 离心率1开口方向向右向左向上向下1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线关于顶点对称．( )(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．四种标准方程对应的抛物线有相同的( )A．顶点 B．焦点C．准线 D．对称轴答案：A3．顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离等于 3 的抛物线的标准方程是( )A．x2＝±3y B．y2＝±6xC．x2＝±12y D．x2＝±6y答案：C4．抛物线 y＝2px2(p>0)的对称轴为________．答案：y 轴 抛物线性质的应用 已知抛物线 y2＝2px(p>0)的顶点为 O，点 A、B 在抛物线上，且OA·OB＝0，|AB|＝15，直线 OA 的方程为 y＝2x，求抛物线的方程．【解】 如图所示，由OA·OB＝0，得 OA⊥OB，直线 OA 的方程为 y＝2x，则直线 OB 的方程为 y＝－x，由，消去 x 并整理得 y2－py＝0，解得 y＝0 或 y＝p.所以点 A 的坐标为(，p)，同理可得点 B 的坐标为(8p，－4p)．因为|AB|＝5，所以 ＝5.两边平方并整理，得 p2＝4，因为 p>0，所以 p＝2，所以抛物线的方程为 y2＝4x.本题首先根据两条直线互相垂直的位置关系，求出了抛物线的内接直角三角形两条直角边所在的直线的方程，然后分别与抛物线的方程联立方程组，进一步求出点 A、B 的坐标，最后由斜边长建立关于参数 p 的方程而求解． 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，设抛物线方程为 y2＝2mx(m≠0)，焦点 F，直线 l：x＝，所以 A、B 两点坐标为、，所以|AB|＝2|m|.因为△OAB 的面积为 4，所以·||·2|m|＝4，所以 m＝±2.所以抛物线方程为 y2＝±4x. 抛物线的焦点弦问题 已知直线 l 经过抛物线 y2＝6x 的焦点 F，...
