3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1.通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养学生的数学运算素养.2.借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象的核心素养. 2008 年 9 月 25 日 21 时 10 分，“神舟七号”载人飞船顺利升空，实现多人飞行和出舱活动，标志着我国航天事业又上了一个新台阶．请问，“神舟七号”飞船的运行轨道是什么？下面请你固定两个图钉，拉一根无弹性的细绳，两端系在图钉上(如图)，用铅笔抵住细绳并上下左右转动，看铅笔留的轨迹是否是椭圆？1．椭圆的定义把平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数 ( 大于 | F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示] (1)点的轨迹是线段 F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程＋＝ 1( a > b >0) ＋＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)(0 ，－ c ) 与(0 ， c ) a，b，c 的关系c2＝a 2 － b 2 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆．( )(2)已知椭圆的焦点是 F1，F2，P 是椭圆上的一动点，如果延长 F1P 到 Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点 Q 的轨迹为圆．( )(3)方程＋＝1(a＞0，b＞0)表示的曲线是椭圆．( )[提示] (1)× (2)√ (3)×2．设 P 是椭圆＋＝1 上的点，若 F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )A．4 B．5C．8D．10D [由椭圆方程知 a2＝25，则 a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.]3．椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 20，则此椭圆的标准方程为( )A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1C [由条件知，焦点在 y 轴上，且 a＝10，c＝8，所以 b2＝a2－c2＝36，所以椭圆的标准方程为＋＝1.]4．方程＋＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的...
