高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.2 任意角的三角函数 1.2.3 同角三角函数的基本关系式课堂探究学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

1.2.3 同角三角函数的基本关系式课堂探究探究一 利用同角三角函数基本关系式求值在求值时，要注意恰当选取开方后根号前面的正负号，一般有以下三种情况：(1)已知一个角的一个三角函数值及这个角的终边所在象限，此类情况只有一组解；(2)已知一个角的一个三角函数值，但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值的符号确定这个角的终边所在象限，然后求解，一般有两组解；(3)已知一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此时既要对角的终边所在的象限进行分类讨论，也要对表示其值的字母的正负进行分类讨论．另外，还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上．【例 1】 已知 cos α＝－，求 sin α，tan α 的值．分析：先利用平方关系求出 sin α 的值，再利用商关系求出 tan α 的值．在求 sin α 的值时，先由余弦值为负确定角 α 的终边在第二或第三象限，然后分象限讨论．解：因为 cos α＝－<0，所以 α 是第二或第三象限的角．若 α 是第二象限的角，则sin α＝＝＝，tan α＝＝＝－；若 α 是第三象限的角，则sin α＝－＝－＝－，tan α＝＝＝．易错警示 在应用平方公式时要注意，一定要看角的终边所在的象限是否给出．如果没有给出的话，要分情况讨论开方结果的正负．应用正切公式时，要看 tan α 是否有意义，还要看角的范围是否给出，否则求出的角 α 可能是一个集合．【例 2】 已知 sin α＝m(|m|≤1)，求 tan α 的值．解：当 m＝0 时，tan α＝0；当 m＝±1 时，角 α 的终边落在 y 轴上，此时 tan α 不存在；当 α 为第一、四象限的角时，cos α＝＝，tan α＝＝＝；当 α 为第二、三象限的角时，cos α＝－＝－，tan α＝＝－．【例 3】 已知 tan α＝－，求下列各式的值．(1)；(2)2sin2α－sin αcos α＋5cos2α；(3) ．分析：由于已知条件为切，所求式为弦，故应想办法将切化弦，或将弦化切(这是一种分析综合的思想)；若切化弦，应把条件 tan α＝＝－代入所求式，消去其中一种函数名，再进一步求值；若弦化切，应把所求式化成用 tan α 表示的式子，代入化简即可．解：(1)由 tan α＝＝－得 cos α＝－3sin α，代入所求式得＝＝－．(2)原式＝·cos2α＝·．将 tan α＝－代入得原式＝×＝．(3)原式＝＝＝＝．方法总结 已知角 α 的正切值，求由 sin α 和 cos α 构成的代数式的值，构成的代数式通常是分式或...