高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案VIP专享

第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性预习课本 P34～37，思考并完成以下问题(1)周期函数的定义是什么？ (2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？ (3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么？ 1．周期函数(1)周期函数的概念条件① 对于函数 ƒ(x)，存在一个非零常数 T② 当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) 结论函数 ƒ(x)叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期(2)最小正周期条件周期函数 ƒ(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做 ƒ(x)的最小正周期[点睛] 对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)如果 T 是函数 ƒ(x)的一个周期，则 nT(n∈Z 且 n≠0)也是 ƒ(x)的周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin xy＝cos x周期2kπ(k∈Z 且 k≠0)2kπ(k∈Z 且 k≠0)最小正周期 2π2 π 奇偶性奇函数偶函数1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因 sin＝sin，则是正弦函数 y＝sin x 的一个周期．( )(2)若 T 是函数 ƒ(x)的周期，则 kT，k∈N*也是函数 f(x)的周期．( )(3)函数 y＝3sin 2x 是奇函数．( )(4)函数 y＝－cos x 是偶函数．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．函数 ƒ(x)＝2sin 是( )A．T＝2π 的奇函数B．T＝2π 的偶函数C．T＝π 的奇函数D．T＝π 的偶函数答案：B3．下列函数中，周期为的是( )A．y＝sin x B．y＝sin 2xC．y＝cos D．y＝cos 4x答案：D4．函数 ƒ(x)＝sin xcos x 是______(填“奇”或“偶”)函数．答案：奇三角函数的周期[典例] 求下列函数的周期．(1)ƒ(x)＝cos；(2)ƒ(x)＝|sin x|.[解] (1)[法一 定义法] ƒ(x)＝cos＝cos＝cos＝ƒ(x＋π)，即 ƒ(x＋π)＝ƒ(x)，∴函数 ƒ(x)＝cos 的周期 T＝π.[法二公式法] y＝cos，∴ω＝2.又 T＝＝＝π.∴函数 ƒ(x)＝cos 的周期 T＝π.(2)[法一 定义法] ƒ(x)＝|sin x|, ∴ƒ(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝ƒ(x)，∴ƒ(x)的周期为 π.[法二 图象法] 函数 y＝|sin x|的图象如图所示．由图象可知 T＝π.求函数最小正周期的常用方法除了定义法外，求三角函数的周期，一般还有两种方法：(1)公式法，即将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋B 的形式，再利用 T＝求得；(2)图象法，利用...