高中数学 第一章 坐标系 1.2 极坐标系学案 新人教B版选修4-4-新人教B版高二选修4-4数学学案VIP专享

1.2 极坐标系[对应学生用书 P4] [读教材·填要点]1．平面上点的极坐标(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O，由 O 点出发的一条射线 Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox 称为极轴．(2)点的极坐标：平面上任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度θ 来刻画，这两个数组成的有序数对( ρ ， θ ) 称为点 M 的极坐标，ρ 称为极径，θ 称为极角．2．极坐标与直角坐标的关系(1)极坐标和直角坐标变换的前提条件：① 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；② 极轴与 x 轴的正半轴重合；③ 两种坐标系取相同的长度单位．(2)极坐标和直角坐标的变换公式：或[小问题·大思维]1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋2nπ)或(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(其中 n∈Z)．2．若 ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点 M(ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？提示：如果我们规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示．这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．3．若点 M 的极坐标为(ρ，θ)，则 M 点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点 M 的极坐标是(ρ，θ)，则 M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．[对应学生用书 P5]极坐标系的概念[例 1] 已知定点 P.(1)将极点移至 O′处，极轴方向不变，求 P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动，求 P 点的新坐标．1[思路点拨] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．[精解详析] (1)设 P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO′|＝2，|OP|＝4，∠POx＝，∠O′Ox＝，∴∠POO′＝.在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2·4·2·cos＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.即|O′P|＝2.∴|OP|2＝|OO′|2＋|O′P|2，∠OO′P＝.∴∠OPO′＝.∴∠OP′P＝π...