高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案VIP专享

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数 y＝sin x，y＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一 函数的周期性思考 1 如果函数 f(x)满足 f(x＋3)＝f(x)，那么 3 是 f(x)的周期吗？答案 不一定.必须满足当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋3)＝f(x)，才可以说 3 是f(x)的周期.思考 2 所有的函数都具有周期性吗？答案 不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考 3 周期函数都有最小正周期吗？答案 周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数 f(x)＝c(c 为常数，x∈R)，所有非零实数 T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.梳理 函数的周期性(1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期 . 知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性思考 1 证明函数 y＝sin x 和 y＝cos x 都是周期函数.答案 sin(x＋2π)＝sin x，cos(x＋2π)＝cos x，∴y＝sin x 和 y＝cos x 都是周期函数，且 2π 就是它们的一个周期.思考 2 证明函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或 f(x)＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)是周期函数.答案 由诱导公式一知，对任意 x∈R，都有 Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，所以 Asin[ω＋φ]＝Asin(ωx＋φ)，即 f＝f(x)，所以 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)是周期函数，就是它的一个周期.同理，函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)也是周期函数.梳理 由 sin(x＋2kπ)＝sin x ，cos(x＋2kπ)＝cos x (k∈Z)知，y＝sin x 与 y＝cos x 都是周期函数，2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是 2π.知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性思考 对于 x∈R，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案 奇偶性.梳理 (1)对于 y＝sin x，x∈R 恒有 sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数 y＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于 y＝cos x，x∈R 恒...