高中数学 第一章 数列 1.3 等比数列 1.3.2 第1课时 等比数列的前n项和学案（含解析）北师大版必修5-北师大版高二必修5数学学案VIP专享

3．2 等比数列的前 n 项和第 1 课时 等比数列的前 n 项和知识点一 等比数列前 n 项和公式 [填一填](1)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，当公比 q≠1 时，Sn＝＝；当 q＝1 时，Sn＝na1.(2)推导等比数列前 n 项和公式的方法是错位相减法．[答一答]1．若一个数列是等比数列，它的前 n 项和写成 Sn＝Aqn＋B(q≠1)，则 A 与 B 有何种关系？提示：互为相反数．知识点二 等比数列前 n 项和公式的有关知识 [填一填]在等比数列的前 n 项和公式中共有 a1，an，n，q，Sn五个量，在这五个量中知三求二．[答一答]2．你能根据所学知识列举几种数列求和的方法吗？提示：(1)公式法．(2)倒序相加法．(3)乘公比错位相减法．1．利用错位相减法求前 n 项和的数列的特点如果数列{an}是等差数列，公差为 d；数列{bn}是等比数列，公比为 q，则求数列{anbn}的前 n 项和就可以运用错位相减法．方法如下：设 Sn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn.当 q＝1 时，{bn}是常数列，Sn＝b1(a1＋a2＋a3＋…＋an)＝；当 q≠1 时，则：qSn＝qa1b1＋qa2b2＋qa3b3＋…＋qanbn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1，所以(1－q)Sn＝a1b1＋b2(a2－a1)＋b3(a3－a2)＋…＋bn(an－an－1)－anbn＋1＝a1b1＋d·－anbn＋1.所以 Sn＝＋.2．等比数列前 n 项和公式与函数的关系(1)当公比 q≠1 时，等比数列的前 n 项和公式是 Sn＝，它可以变形为 Sn＝－·qn＋，设 A＝，上式可写成 Sn＝－Aqn＋A.由此可见，q≠1 的等比数列的前 n 项和 Sn是由一个关于 n 的指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比 q＝1 时，因为a1≠0，所以 Sn＝na1，是 n 的正比例函数(常数项为 0 的一次函数)．(2)当 q≠1 时，数列 S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是函数 y＝－Aqx＋A 图像上的一些孤立的点．当 q＝1 时，数列 S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是正比例函数 y＝a1x 图像上的一些孤立的点．类型一 等比数列前 n 项和的应用 【例 1】 在等比数列{an}中，(1)若 a1＝81，a5＝16，求 S5；(2)若 S5＝93，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝186，求 a8；(3)若 a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求 n，q.【思路探究】 (1)由 a1，a5的值求 q，已知 a1，利用 Sn＝求 S5.(2)a2＋a3＋a4＋a5＋a6可看成首项为 a2，公比仍为{an}的公比 q 的等比数列的前 5 项和，利用求和公式列方程组求 q，再求出 a1，于是可求...