高中数学 第一章 坐标系 3 柱坐标系和球坐标系学案 北师大版选修4-4-北师大版高二选修4-4数学学案VIP专享

§3 柱坐标系和球坐标系[对应学生用书 P15]1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系 O xyz，设 M(x，y，z)为空间一点，并设点 M 在 xOy 平面上的投影点 P 的极坐标为(r，θ)，则这样的三个数r，θ，z 构成的有序数组( r ， θ ， z ) 就叫作点 M 的柱坐标，这里规定r ，θ ，z 的变化范围为 0≤ r < ＋∞ ，0≤ θ <2π ，－∞ < z < ＋∞ .(2)空间点 M 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(r，θ，z)之间的变换公式为2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系 O xyz，设 M(x，y，z)为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数 r，φ，θ 来确定，其中 r 为原点 O 到点 M 间的距离，φ 为有向线段 OM�与 z 轴正方向所夹的角，θ 为从 z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段 OP�的角，这里 P 为点 M 在xOy 平面上的投影(如图)．这样的三个数 r，φ，θ 构成的有序数组( r ， φ ， θ ) 叫作点 M 的球坐标，这里 r，φ，θ 的变化范围为 0≤ r < ＋ ∞，0≤ φ ≤π ，0≤ θ <2π .(2)空间点 M 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为.1．空间中点的直角坐标、柱坐标和球坐标各有何特点？提示：设空间中点 M 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同，直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角．2．在极坐标系中，方程 ρ＝ρ0(ρ0为不为 0 常数)，θ＝θ0(θ0为常数)表示的图形分别是圆和直线，那么在柱坐标系中，方程 ρ＝1，z＝－1 分别表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程 r＝1，φ＝分别表示空间中的什么曲面？提示：在柱坐标系中，方程 ρ＝1 表示以 z 轴为中心，以 1 为半径的圆柱面；方程 z＝－1表示与 xOy 坐标面平行的平面，此平面与 xOy 面的距离为 1 且在此坐标面的下方；在球坐标系中，方程 r＝1 表示球心在原点的单位球面；方程 φ＝表示顶点在原点，半顶角为的上半个圆锥面，中心轴为 z 轴．[对应学生用书 P16]将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标[例 1] 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，如图所示建立空间直角坐标系，以 Ax 为极轴，求点 C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．[思路点拨] 本题考查直角坐标系，柱坐标系及球坐标系下点的坐标1的确定及其关系的转化；解答...