3．1 基本不等式学习目标 1
理解基本不等式的内容及证明
能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小
能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一 算术平均数与几何平均数思考 如图，AB 是圆 O 的直径，点 Q 是 AB 上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点 Q 作 PQ 垂直 AB于 Q，连接 AP，PB
如何用 a，b 表示 PO，PQ 的长度
梳理 如果 a，b 都是非负数，那么≥，当且仅当 a＝b 时，等号成立．其中称为 a，b 的________平均数，称为 a，b 的________平均数．两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点二 基本不等式及其常见推论思考 如何证明不等式≤(a>0，b>0)
梳理 ≤(a>0，b>0)．当对正数 a，b 赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab≤()2≤(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b 同号)；(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 类型一 常见推论的证明引申探究证明不等式()2≤(a，b∈R)．例 1 证明不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．反思与感悟 (1)本例证明的不等式成立的条件是 a，b∈R，与基本不等式不同．(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练 1 已知 a，b，c 为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
类型二 用基本不等式证明不等式例 2 已知 x，y 都是正数．求证：(1)＋≥2；(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3
反思与感悟 在(1)的证明中把，分别看作基本不等式中的 a，b 从而能够应用基本不等式；在(2)中三次利用了基本不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练 2 已知 a，b，c 都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc
