3．1 基本不等式学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一 算术平均数与几何平均数思考 如图，AB 是圆 O 的直径，点 Q 是 AB 上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点 Q 作 PQ 垂直 AB于 Q，连接 AP，PB.如何用 a，b 表示 PO，PQ 的长度？梳理 如果 a，b 都是非负数，那么≥，当且仅当 a＝b 时，等号成立．其中称为 a，b 的________平均数，称为 a，b 的________平均数．两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点二 基本不等式及其常见推论思考 如何证明不等式≤(a>0，b>0)?梳理 ≤(a>0，b>0)．当对正数 a，b 赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab≤()2≤(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b 同号)；(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 类型一 常见推论的证明引申探究证明不等式()2≤(a，b∈R)．例 1 证明不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．反思与感悟 (1)本例证明的不等式成立的条件是 a，b∈R，与基本不等式不同．(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练 1 已知 a，b，c 为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.类型二 用基本不等式证明不等式例 2 已知 x，y 都是正数．求证：(1)＋≥2；(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.反思与感悟 在(1)的证明中把，分别看作基本不等式中的 a，b 从而能够应用基本不等式；在(2)中三次利用了基本不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练 2 已知 a，b，c 都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.类型三 用基本不等式比大小例 3 某工厂生产某种产品，第一年产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，a，b，x 均大于零，则( )A．x＝ B．x≤C．x＞ D．x≥反思与感悟 基本不等式≥一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练 3 设 a＞b＞1，P＝，Q＝，R＝lg ，则 P，Q，R 的大小关系是( )A．R＜P＜Q B．P＜Q＜RC．Q＜P＜R D．P＜R＜Q1．已知 a>0，b>0，则＋＋2 的最小值是( )A．2 B．2 C．4 D．52．若 0
>>bB．b>>>aC．b>>>aD．b>a>>3．设 a、b 是实数，且 a＋b＝3，则 2a＋2b的最小值是( )A．6 B．4 C．2 D．84．设...
