二 极坐标系互动课堂重难突破一、极坐标的概念1.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，我们经常用距离和方向来表示一点的位置.用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标.2.如图,极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点 M，用 ρ 表示线段 OM 的长度，用 θ 表示从 Ox 到 OM 的角度，ρ 叫做 M 的极径，θ 叫做点 M 的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做 M 的极坐标.把定义弄清楚，我们就会用极坐标确定点的位置.特别注意:(1)① 极点,② 极轴,③ 长度单位,④ 角度单位和它的正方向构成了极坐标系的四要素,缺一不可.(2)特别地,当 M 在极点时,它的极坐标 ρ=0,θ 可以取任意值.极点 O 的坐标为(0,θ)(θ∈R).(3)一般地,不作特殊说明时,ρ≥0,θ 可取任意实数.3.建立极坐标系后,给定 ρ(ρ≥0)和 θ,就可以在平面内唯一确定点 M.确定的方法是:(1)由 θ 定射线.根据 θ 角确定点 M 所在的射线 OM;(2)由 ρ 取点.在射线 OM 上取|OM|=ρ,点 M 的位置即可确定.4.给定平面内任意一点 M,也可以找到它的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0).特别注意:(1)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.(2)如果规定 ρ≥0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.5.为完整起见,现作一补充:若 ρ<0,则-ρ>0,我们规定点 M(ρ,θ)与点 P(-ρ,θ)关于极点对称.点 M(ρ,θ)(ρ<0)的位置的确定方法是:(1)由 θ 定射线.先找出 θ 角的终边所在的射线,确定其反向延长线 OM.(2)由 ρ 取点.在射线 OM 上取|OM|=-ρ,点 M 的位置即可确定,如图.进一步可以得出,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)(-ρ,θ+π+2kπ)(k∈Z)表示同一点.应当指出,若 ρ<0,应有说明;否则,可认为 ρ≥0.二、极坐标和直角坐标的互化平面内的一个点既可以用直角坐标表示,也可以用极坐标表示.我们要理解极坐标的概念,会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化,利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与 x 轴的正半1轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.2.极坐标与直角坐标的互化公式:x=ρcosθ,y=ρsinθ.ρ2=x2+y2,tanθ= xy (x≠0).3.极坐标与直角坐标的互化,常用...
