3.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质(二)[学习目标] 1.掌握 y＝sinx 与 y＝cosx 的定义域，值域，最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题.2.掌握 y＝sinx，y＝cosx 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．[知识链接]1．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答 正弦函数 y＝sinx 的图象关于原点对称，余弦函数 y＝cosx 的图象关于 y 轴对称．2．上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？答 正弦函数是 R 上的奇函数，余弦函数是 R 上的偶函数．根据诱导公式得，sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx 均对一切 x∈R 恒成立．3．观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是 1 和－1.[预习导引] 正弦函数、余弦函数的性质(下表中 k∈Z)：函数y＝sinxy＝cosx图象定义域RR值域[ － 1,1] [ － 1,1] 对称轴x＝kπ＋x＝kπ对称中心(kπ，0)奇偶性奇函数偶函数单调递增单调递减最值在 x＝＋2kπ 时，ymax＝1；在 x＝－＋2kπ 时，ymin＝－1在 x＝2kπ 时，ymax＝1；在 x＝π＋2kπ 时，ymin＝－1要点一 求正弦、余弦函数的单调区间例 1 求函数 y＝2sin 的单调递增区间．解 y＝2sin＝－2sin，令 z＝x－，则 y＝－2sinz.因为 z 是 x 的一次函数，所以要求 y＝－2sinz 的递增区间，即求 sinz 的递减区间，即 2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)．∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴函数 y＝2sin 的递增区间为(k∈Z)．规律方法 用整体替换法求函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中 x 的系数为负数，先利用诱导公式将 x 的系数变为正数再求其单调区间．再将最终结果写成区间形式．跟踪演练 1 求下列函数的单调递增区间：(1)y＝1＋2sin；(2)y＝logcosx.解 (1)y＝1＋2sin＝1－2sin.令 u＝x－，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是 y＝sinu 的单调递减区间，即 2kπ＋≤u≤2kπ＋π(k∈Z)，亦即 2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．亦即 2kπ＋π≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，故函数 y＝1＋2sin 的单调递增区间是(k∈Z)．(2)由 cosx>0，得 2kπ－
