3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式互动课堂疏导引导1.二倍角公式(1)二倍角公式的正弦、余弦、正切公式sin2α=2sinαcosα,(S2α)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,(C2α)tan2α=,(T2α)这组公式要记准、记熟、用活.下面给出这组公式的推导:∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,当 α=β 时,有 sin2α=2sinαcosα.∵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,当 α=β 时 , 有 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1(sin2α=1-cos2α)=1-2sin2α(cos2α=1-sin2α).∵tan(α+β)=,当 α=β 时,有 tan2α=.公式 S2α、C2α中,α∈R,公式 T2α中的 α≠kπ+且 α≠kπ+ (k∈Z).从上面的公式推导中可以看到二倍角公式是和角公式的特殊情况.(2)关于倍角公式应注意的几个问题:① 推导思路:在正弦、余弦、正切的和角公式中,令两角相等,就得相应倍角公式.由此,倍角公式是和角公式的特例.② 公式的适用范围:公式 S2α、C2α中,角 α 可以为任意角,但公式 T2α 只有当 α≠+kπ 及 α≠+ (k∈Z)时才成立,否则不成立.当 α=+kπ,k∈Z,虽然 tanα 的值不存在,但 tan2α 的值是存在的,这时求 tan2α 的值可利用诱导公式.③ 对于“二倍角”要有广义理解,如 4α 是 2α 的 2 倍;α 作为的 2 倍;作为的 2 倍;3α 作为的 2 倍;作为的 2 倍等.2.二倍角公式的变形(1)公式逆用2sinαcosα=sin2α,sinαcosα=sin2α,cosα=,cos2α-sin2α=cos2α,=tan2α.(2)公式的逆向变换及有关变形1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2,1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,cos2α=,sin2α=.活学巧用1.已知 sinα+cosα=,且 0＜α＜π,求 sin2α、cos2α、tan2α 的值.解 析 : 方 法 一 :∵sinα+cosα=,∴sin2α+cos2α+2sinαcosα=.∴sin2α=且sinαcosα=＜0.∵0＜α＜π,sinα＞0,∴cosα＜0.∴sinα-cosα＞0.∴sinα-cosα=.∴cos2α=cos2α-sin2α=(sinα+cosα)(cosα-sinα)=×(-)=.tan2α=.方法二:∵sinα+cosα=,平方得 sinαcosα=,∴sinα、cosα 可看成方程 x2-x=0 的两根,解 方 程 x2-x=0, 得 x1=,x2=.∵α∈(0,π),∴sinα ＞ 0.∴sinα=, cosα=.∴sin2α=2sinαcosα=,cos2α=cos2α-sin2α=,tan2α=.答案:sin2α=,cos2α=,tan2α=.2.已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)若 x∈［0, ］,求 f(x)的最大值、最小值.解析:f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+).(1)T==π.(2)0≤x≤,0≤2x≤π,≤2x+≤,-1≤cos(2x+)≤,∴-2≤2cos(2x+)≤1.∴f(x)max=1,f(x)min=-2.答案:(1)π;(2)f(x)max=1,f(x)min=-2.3.已知函数 y=cos2x+sinxcosx+1,x∈R.当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合.解析:y=cos2x+sinxcosx+1=(2cos2x-1)++(2sinxcosx)+1=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+.y 取得最大值必须且只需 2x+=+2kπ,k∈Z,即 x=+kπ,k∈Z.所以量 x 的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}.
