1.3.2 函数的奇偶性●知识梳理1.奇函数：对于函数 f（x）的定义域内任意一个 x，都有 f（－x）=－f（x）〔或 f（x）+ f（－x）=0〕，则称 f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数 f（x）的定义域内任意一个 x，都有 f（－x）=f（x）〔或 f（x）－f（－x）=0〕，则称 f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数 0，则 f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数 f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是① 偶函数的图象一定与 y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于 y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f（x）=0（x∈R）A.1 B.2 C.3 D.4解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为 f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：A2.已知函数 f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么 g（x）=ax3＋bx2＋cx 是A.奇函数 B.偶函数C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数解析：由 f（x）为偶函数，知 b=0，有 g（x）=ax3＋cx（a≠0）为奇函数.答案：A3.若偶函数 f（x）在区间［－1，0］上是减函数，α、β 是锐角三角形的两个内角，且 α≠β，则下列不等式中正确的是A.f（cosα）＞f（cosβ） B.f（sinα）＞f（cosβ）C.f（sinα）＞f（sinβ） D.f（cosα）＞f（sinβ）解析： 偶函数 f（x）在区间［－1，0］上是减函数，∴f（x）在区间［0，1］上为增函数.由α、β 是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞0.∴f（sinα）＞f（cosβ）.答案：B4.已知 f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则 a＝___________，b＝___________.解析：定义域应关于原点对称，故有 a－1＝－2a，得 a＝.又对于所给解析式，要使 f（－x）＝f（x）恒成立，应 b＝0.答案： 05.给定函数:①y=（x≠0）；② y=x2+1；③ y=2x；④ y=log2x；⑤ y=log2（x+）.在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤ ② ③④●典例剖析【例 1】 ...
