高中数学 第三章 概率 3 模拟方法——概率的应用备课资料 北师大版必修3-北师大版高一必修3数学素材

高中数学 第三章 概率 3 模拟方法——概率的应用备课资料 北师大版必修 3 几何概型是高中数学新增加的内容,其特点鲜明,题目类型较为固定.高中数学学习阶段所出现的几何概型问题总结如下.1.与长度有关的几何概型例 1 有一段长为 10 米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于 3 米,则符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于 3 米,也就是说只能在距两端都为 3 米的中间的 4 米中截,这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.解：记两段木棍都不小于 3 米为事件 A,则 P(A)=.2.与面积有关的几何概型这里有一道十分有趣的题目：例 2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？分析：这是一道几何概型问题,在几何概型中,样本空间是问题所涉及的整个几何图形,在本题中,样本空间就是小方几的桌面面积.一个事件就是整个几何图形的一部分,这个事件发生的概率就是这部分面积与整个图形的面积比.图 10解：不妨设小方几的边长为 1,铜板落到小方几上,也就是铜板的中心落到方几上,而要求整个铜板落到小方几上,也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个×的小正方形内(如图 10),这时铜板中心到方几边缘的距离≥铜板边长的.整个方几的面积为 1×1=1,而中央小正方形的面积为×=,所以郭靖进入下一轮比赛的概率为.例 3 甲、乙两人相约在上午 9：00 至 10：00 之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留5 分钟.问两人能够见面的概率有多大？图 11解：设甲到的时间为(9+x)小时,乙到的时间为(9+y)小时,则 0≤x≤1,0≤y≤1.点(x,y)形成直角坐标系中的一个边长为 1 的正方形,以(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)为顶点(如图 11).由于两人都只能停留 5 分钟即小时,所以在|x-y|≤时,两人才能会面.由于|x-y|≤是两条平行直线 x-y=,y-x=之间的带状区域,正方形中除去这个带状区域是两个三角形,其面积之和为(1-)×(1-)=()2.从而带形区域在这个正方形内的面积为 1-()2=,因此所求的概率为.3.与体积有关的几何概型例 4 在 5 升水中有一个病毒,现从中随机地取出 1 升水,含有病毒的概率是多大？分析：病毒在这 5 升水中的分布可以看作是随机的,取得的 1 ...