高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 第五节 直角三角形的射影定理课堂导学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案

第五节 直角三角形的射影定理课堂导学三点剖析一、射影定理解决有关计算问题【例 1】 如图 1-5-2,Rt△ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边上的高,AC=5,BC=8,则 S△CDA∶S△CDB等于( )图 1-5-2A.5∶8 B.25∶64 C.25∶39 D.25∶89思路分析：∵△CDA 与△CDB 同高,∴BDADSSCDBCDA .又∵AC2=AD·AB,CB2=BD·AB,∴BDADABBDABADCBAC22.∴642522CBACSSCDBCDA.答案:B温馨提示 射影定理的使用,使问题的解决非常简捷,在使用时要切实注意线段间的关系,有时与勾股定理以及面积等其他性质结合.二、利用射影定理证等积式【例 2】 Rt△ABC 中,∠C=90°,CD⊥AB 于 D,作 DF⊥BC 于 F,DE⊥AC 于 E.求证:(1)CE·AC=CF·CB;(2)CD3=AB·AE·BF.图 1-5-4证明：(1)在 Rt△ACD 中,∵DE⊥AC,∴CD2=CE·AC.在 Rt△BCD 中,∵DF⊥BC,∴CD2=CF·CB.∴CE·AC=CF·CB.(2)在 Rt△ACD 中,1∵DE⊥AC,∴AD2=AE·AC.∴AE=ACAD 2 .在 Rt△BCD 中,∵DF⊥BC,∴BD2=BF·BC.∴BF=BCBD 2 .∴AB·AE·BF=AB·ACAD 2 ·BCBD 2=(AD·BD)2·BCACAB.①又∵在 Rt△ABC 中,CD2=AD·BD,②S△ABC= 21 AC·BC= 21 AB·CD,∴CD=ABBCAC .③将②③代入①得 AB·AE·BF=CD4· CD1 =CD3.三、射影定理的其他应用【例 3】 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,CD⊥AB 于 D,S△BCD2=S△ABC·S△ADC,求证:BD=AC.图 1-5-6证明:∵S△BCD2=S△ABC·S△ADC,∴ADCBDCBDCABCSSSS.∴DCADCDBDCDBDCDAB,即ADBDBDAB .∴BD2=AB·AD.又∵AC2=AD·AB,∴AC2=BD2.∴AC=BD.各个击破类题演练 1在直角三角形中,斜边上的高为 6 cm,且把斜边分成 3∶2 两段,则斜边上中线的长为( )A.265cm B.64cm C.65cm D.325cm解析：如图 1-5-3,AD 为 Rt△ABC 斜边上的高,AE 为中线.2图 1-5-3设 BD=3x,DC=2x,则 BD·DC=AD2,即 3x·2x=62.∴x=6 .∴BD=36 ,DC=26 .∴BC=56.又 AE=21 BC=265.答案:A类题演练 2如图 1-5-5,在矩形 ABCD 中,过 A 作对角线 BD 的垂线 AP 与 BD 交于 P,过 P 作 BC、CD 的垂线PE、PF,分别与 BC、CD 交于 E、F.图 1-5-5求证:AP3=BD·PE·PF.证明:∵PE∥CD,∴△BEP∽△BCD.∴CDPEBDBP .∴PE=BDCDBP .同理,由△BAP∽△DPF,∴PF=ABAPPD .又∵AB=CD,∴PF=CDAPPD .又由射影定理得 AP2=PB·PD,∴BD·PE·PF=BD·BDCDBP ·CDAPPD =BP·PD·AP=AP2·AP=AP3.温馨提示 当出现多于 2 条线段的乘积时,应考虑是否两边能利用某种关系约去部分线段,使之变为 m2=p·q 或 m·n=p·q 的形式,若不能,应从等式一方出发,找出线段的关系,而后通过演算化简得出等式另一端.类题演练 3在矩形 ABCD 中,作 DH⊥AC,如果 AH=6,CH=2,求矩形 ABCD 的面积.3图 1-5-7解:在 Rt△ACD 中,DH⊥AC,∴AD2=AH·AC,CD2=CH·AC.∴AD=34)26(6 ACAH,CD=4)26(2 ACCH.∴S 矩形 ABCD=AD·CD=34×4=316.4