第三课 导数及其应用[体系构建][题型探究]利用导数的几何意义求曲线的切线方程运用导数的几何意义，可以求过曲线上任一点的切线的斜率，从而进一步求出过此点的切线方程．还可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、三角形面积等．导数的几何意义是近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题的形式出现．对于较为复杂的此类问题，一般要利用 k＝f′(x0)((x0，f(x0))为切点)及切点的坐标满足切线方程和曲线方程列方程组求解． 求过曲线 y＝x3－2x 上的点(1，－1)的切线方程
[思路探究] 切线过曲线上一点(1，－1)，并不代表(1，－1)就是切点，故需先设出切点，再求解
【规范解答】 设切点为 P(x0，y0)，则 y0＝x－2x0
y′＝3x2－2，则切线的斜率 k＝f′(x0)＝3x－2，∴切线方程为 y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．又 切线过点(1，－1)，∴－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得 x0＝1 或 x0＝－
∴切点为(1，－1)或，相应的切线斜率为 k＝1 或 k＝－
故所求切线方程为 y－(－1)＝x－1 或 y－＝－·，即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0
[跟踪训练]1．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝2 处取得极值，并且它的图象与直线 y＝－3x＋3 在点(1,0)处相切，则函数 f(x)的表达式为________
【导学号：95902257】【解析】 f′(x)＝3x2＋2ax＋b
f(x)与直线 y＝－3x＋3 在点(1,0)处相切，∴即 f(x)在 x＝2 处取得极值，∴f′(2)＝12＋4a＋b＝0
③ 由①②③解得∴f(x)＝x3－3x2＋2
【答案】 f(x)＝x3－3x2＋2利用导数研究函数的单调性
