高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 三 相似三角形的判定及性质 2 相似三角形的性质学案（含解析）新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案

2．相似三角形的性质1．相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方． 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径．利用相似三角形性质计算 如图，已知△ABC 中，CE⊥AB 于点 E，BF⊥AC 于点 F，若 S△ABC＝36 cm2，S△AEF＝4 cm2，求sin A 的值． 由题目条件证明△AEC∽△AFB，得 AE∶AF＝AC∶AB，由此推知△AEF∽△ACB，进而求出线段 EC 与 AC 的比值． CE⊥AB 于点 E，BF⊥AC 于点 F，∴∠AEC＝∠AFB＝90°.又 ∠A＝∠A，∴△AEC∽△AFB.∴＝.又 ∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB.∴2＝＝.∴＝＝.设 AE＝k，则 AC＝3k，∴EC＝2k.∴sin A＝＝.利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的．1．如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC 于点 G，AF⊥DE 于点 F.若 AD＝3，AB＝5，求：1(1)的值；(2)△ADE 与△ABC 的周长之比；(3)△ADE 与△ABC 的面积之比．解：(1)在△ADE 与△ABC 中，因为∠ADE＝∠B，∠BAD 为公共角，所以△ADE∽△ABC，所以＝＝.(2)△ADE 与△ABC 的周长之比等于它们的相似比，即 AD∶AB＝3∶5.(3)△ADE 与△ABC 的面积之比等于它们相似比的平方，即 2＝.2.如图，在▱ABCD 中，AE∶EB＝2∶3.(1)求△AEF 与△CDF 周长的比；(2)若 S△AEF＝8，求 S△CDF.解：(1) 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD 且 AB＝CD. ＝，∴＝，即＝.∴＝.又由 AB∥CD 知△AEF∽△CDF，∴△AEF 的周长∶△CDF 的周长＝2∶5.(2)S△AEF∶S△CDF＝4∶25，又 S△AEF＝8，∴S△CDF＝50.利用相似三角形的性质解决实际问题 如图，一天早上，小张正向着教学楼 AB 走去，他发现教学楼后面有一水塔 DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20 m 和 30 m，它们之间的距离为 30 m，小张身高为 1.6 m．小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有...