高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 四 直角三角形的射影定理成长学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案

四 直角三角形的射影定理主动成长夯基达标1.直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为 6 cm 和 4 cm,则斜边上的高是( )A.10 cm B.2 cm C.26 cm D.24 cm思路解析:直接应用射影定理可求得斜边上的高为 26 cm. 答案:C2.在 Rt△ABC 中,∠C =90°,CD⊥AB 于 D,若 AD∶BD =9∶4,则 AC∶BC 的值为( )A.9∶4B.9∶2C.3∶4D.3∶2思路解析:本题的关键是表示出 AD、BD、AB 的长后,用射影定理求出 AC、BC 的长.设 AD =9k,BD =4k,则 AB =13k.由射影定理得 AC =133k,BC =132k.从而 AC∶BC =3∶2.答案:D3.如图 1-4-8,△ABC 中,∠CAB=90°,AD⊥BC 于 D,求证:AB2∶AC2=BD∶DC.图 1-4-8思路分析:此题直接采用射影定理,答案显而易见.证明:在 Rt△ABC 中, ∠CAB=90°,AD⊥BC,∴AB2=BD·BC,AC2=CD·BC.∴AB2∶AC2=(BD·BC)∶(CD·BC)=BD∶CD.4.如图 1-4-9,△ABC 中,∠ABC=90°,BD⊥AC 于 D,BC =25 cm,BD =4 cm,求 S△BDA∶S△CDB.图 1-4-9思路分析:求 S△BDA∶S△CDB,实际上是求 AD∶DC,显然结合已知条件,应用射影定理,不难求出AD、DC 的长度.解: BD⊥AC, 52BC cm,BD =4 cm,∴由勾股定理得 DC =2 cm.在△ABC 中,∠ABC=90°,BD⊥AC.∴由射影定理得 BD2=AD·DC.∴DCBDAD2 =cm8242.∴S△BDA∶S△CDB =AD∶DC =8∶2 =4∶1.15.如图 1-4-10,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD 是高,且 AB =2AC,求证:5AD =2BC.图 1-4-10思路分析:本题关键是把所求结论“5AD =2BC”与已知条件“AB =2AC”进行联系,而联系两者的根本是射影定理.证明:设 AC =x,则 AB =2x,由勾股定理得xBC5,在 Rt△ABC 中, AD⊥BC,∴AC2=CD·CB, CBACCD2 =xx52 =x55 =x554.∴AD2=BD·CD =xx55554.∴xAD552.∴BCAD =xx5552 =52 ,即 5AD =2BC.6.如图 1-4-11,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,M 为 AC 中点,MD⊥BC 于 D.求证:AB2=BD2-CD2.图 1-4-11思路分析:看 AB2,结合已知条件想到“射影定理”,构造辅助线——作出斜边上的高 AE,再联系“平行线等分线段定理的推论”可达到证明的目的.证明:过点 A 作 AE⊥BC 于 E.在 Rt△ABC 中,由射影定理得 AB2=BE·BC. MD⊥BC,AE⊥BC,∴AE∥MD.又 AM =MC,∴ED =DC(经过三角形一边中点平行于一边的直线,必平分第三边).2又 BE =BD-ED =BD-CD,∴两边同乘以...