高中数学 第三章 导数应用 1.1 导数与函数的单调性教学案 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学教学案

1．1 导数与函数的单调性已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－x＋10，(3)y3＝2x，(4)y4＝x，(5)y5＝log2x，(6)y6＝logx.问题 1：求上面六个函数的导数．提示：(1)y′1＝2，(2)y′2＝－1，(3)y′3＝2xln 2，(4)y′4＝xln ＝－2xln 2，(5)y′5＝，(6)y′6＝＝－.问题 2：试判断所求导数的符号．提示：(1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负．问题 3：试判断上面六个函数的单调性．提示：(1)(3)(5)在定义域上是增加的，(2)(4)(6)在定义域上是减少的．问题 4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：当 f′(x)>0 时，f(x)为增加的，当 f′(x)<0 时，f(x)为减少的．函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的符号有如下关系：导函数的正负函数在(a，b)上的单调性f′(x)＞0增加f′(x)＜0减少f′(x)＝0常数函数(1)若在某个区间上有有限个(或无限个不连续)点使 f′(x)＝0，而其余点恒有 f′(x)>0(或 f′(x)<0)，则 f(x)仍为增加的(或减少的)，例如函数 y＝x3，x∈R，则 f′(x)＝3x2，尽管当 x＝0 时，f′(x)＝0，但该函数 y＝x3在 R 上仍为增加的．(2)在某一区间上 f′(x)>0(或 f′(x)<0)是函数 y＝f(x)在该区间上为增加(或减少)的充分不必要条件，而不是充要条件．判断或证明函数的单调性[例 1] 证明函数 f(x)＝在区间(0,2)上是增加的．[思路点拨] 要证函数 f(x)在(0,2)上为增加的，只要证 f′(x)>0 在(0,2)上恒成立即可．[精解详析] 由于 f(x)＝，所以 f′(x)＝＝，由于 00，即函数在区间(0,2)上是增加的．[一点通] 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式 f′(x)>0(f′(x)<0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：① 求导 f′(x)；② 判断 f′(x)的符号；③ 给出单调性结论．1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增加的是( )A．y＝sin x B．y＝x·exC．y＝x3－x D.y＝ln x－x解析：(sin x)′＝cos x，(x·ex)′＝ex＋x·ex＝(1＋x)·ex，(x3－x)′＝3x2－1，(ln x－x)′＝－1，当 x∈(0，＋∞)时，只有(x·ex)′＝(1＋x)·ex>0.答案：B2.证明函数 f(x)＝x＋在(0,1]上是减少的．证明： f′(x)＝1－＝，又 x∈(0,1]，∴x2－1≤0(只有 x＝1 时等号成立)，∴f′(x)≤0，∴f(x)＝x＋在(0,1]上为减少的．3．判断 y＝ax3－1(a∈R)在 R 上的单调性．解： y′＝3ax2，又 x2≥0.(1)当 a＞0 时，y′≥0，函数在 R...