高中数学 第二章 函数 2.1.3 函数的单调性课堂导学案 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学学案

2.1.3 函数的单调性课堂导学三点剖析一、单调性的判断与证明【例 1】证明函数 f(x)=x+1x 在(0,1)上是减函数.思路分析：证明的关键是对 Δy 进行变形,尽量变形成几个简单因式积或几个平方和的形式.证明：设 0＜x1＜x2＜1,则 Δx=x2-x1＞0,∴Δy=f(x2)-f(x1)=(x2+)-(x1+)=(x2-x1)+=(x2-x1). 0＜x1＜x2＜1,则 x1·x2-1＜0,∴f(x2)＜f(x1).∴f(x)在(0,1)上是减函数.温馨提示(1)也可以证明 f(x)=x+的单调增区间是（-∞,1］,［1,+∞）,单调减区间是［-1,0）,（0,1］,最好记住.(2)可引申为 f(x)=x+(a＞0)在区间（0,］上单调递减;在区间(,+∞)上单调递增.二、函数单调性的应用【 例 2 】 已 知 函 数 f(x) 对 任 意 x,y∈R, 总 有 f(x)+f(y)=f(x+y), 且 当 x>0 时 ，f(x)<0,f(1)=-23.(1)判断并证明 f(x)在 R 上的单调性；（2）求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.思路分析：对于 f(x)+f(y)=f(x+y)的应用，若是求 x 为某一具体数值时 f(x)的值，则采用赋值方法.解：(1)令 x=y=0,得 f(0)=0;令 x=-y，得 f(-x)=-f(x).在 R 上任取 x2>x1,则 Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1). x2>x1,∴x2-x1>0.又 x>0 时，f(x)<0,∴f(x2-x1)<0，即 f(x2)-f(x1)<0.∴Δy<0.由定义可知 f(x)在 R 上为单调递减函数.（2） f(x)在 R 上是减函数,∴f(x)在[-3,3]上也是减函数.∴f(-3)最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×()=-2.∴f(-3)=-f(3)=2，即 f(x)在[-3,3]上的最大值为 2，最小值为-2.温馨提示 无论给出的函数式子多么复杂，只要是证明单调性，就必用“定义法”，只要是比较自变量的大小，就必用单调性定义的逆命题.这就是解题思路.在正确的思路指导下，必能攻无不克，战无不胜.三、带有参数的函数的单调性【例 3】已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈［-5,5］,求实数 a 的范围,使 y=f(x)在［-5,5］上是单调函数.思路分析：根据二次函数的对称轴的位置确定单调性.解：f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2,图象的对称轴为 x=-a. f(x)在［-5,5］上是单调函数,∴-a≤-5 或-a≥5,即 a≤-5 或 a≥5.温馨提示 高考对单调函数的考查主要结合后面几节内容进行考查,主要考查单调函数的定义,题型以选择题和解答题为主.各个击破类题演练 1证明函数 f(x)=x3+x 在 R 上是增函数.证明：任取 x10,即 Δx>0.Δy=f(x2)-f(x1)=(x23+x2)-(x13+x1)=(x23-x13)+(x2-x1)=(x2-x1)[(x2+)2++...