高中数学 第二章 函数 2.1.3 函数的单调性学习导航学案 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学学案

2.1.3 函数的单调性自主整理函数的单调性(1)一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 MA.如果取区间 M 内的任意两个值 x1,x2,则当改变量 Δx=x2-x1>0 时,有 Δy=f(x2)-f(x1)>0,那么就称函数 y=f(x)在区间 M 上是增函数,如图 2-1-12.图 2-1-12当改变量 Δx=x2-x1>0 时,有 Δy=f(x2)-f(x1)<0,那么就称函数 y=f(x)在区间 M 上是减函数,如图 2-1-13.图 2-1-13如果函数 y=f(x)在某个区间 M 上是增函数或是减函数,就说函数 y=f(x)在这一区间 M 上具有单调性(区间 M 叫做 y=f(x)的单调区间).注意:① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;② 在考虑函数单调区间时,若端点处有意义,包括不包括端点均可.(2)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 M 上的单调性的一般步骤:① 任取 x1,x2∈M,且 Δx=x2-x1>0;② 作差 Δy=f(x2)-f(x1);③ 变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分母有理化、通分等);④ 定号(即判断 Δy 的正负 );⑤ 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 M 上的单调性).(3)在公共定义域内:增函数 f(x)+增函数 g(x)是增函数;减函数 f(x)+减函数 g(x)是减函数;增函数 f(x)-减函数 g(x)是增函数;减函数 f(x)-增函数 g(x)是减函数.高手笔记1.有的函数在整个定义域内具有单调性:有的函数在定义域的某个子集上具有单调性;但也有的函数没有单调区间,或者它的定义域上根本没有单调区间.2.函数单调性定义中的 x1、x2有三个特征:一是同属一个单调区间;二是任意性,即“任意”取 x1、x2,“任意”二字决不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;三是有大小,通常规定 x1x2时,f(x1)>f(x2);另一方面是逆向应用,即若 f(x)在给定的区间上是增函数,当 f(x1)f(x2)时 x1>x2.当 f(x)是减函数时类同.4.利用函数单调性判断函数的最大(小)值:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b).5.记忆口诀:增函数,减函数,函数作差要记住;正号增,负号减,增减函数很简单;往上增,往下减,增减趋势正相反.名师解惑1.对于函数单调性的理解应注意什么?剖析:对于函数单调性的理解,要注意以下几点:(1)函数的单调性只能在函数的...