高中数学 第二章 函数 2.1.4 函数的奇偶性课堂导学案 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学学案

2.1.4 函数的奇偶性课堂导学三点剖析一、函数奇偶性的概念,函数奇偶性的判定与证明【例 1】判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x3+x;(2)f(x)=(x-1)·;(3)f(x)=+.思路分析：利用函数奇偶性的定义判断.解：(1) 定义域为 R,f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-f(x),∴f(x)为奇函数.(2) 定义域为{x|x＞1 或 x≤-1},定义域关于原点不对称,∴f(x)为非奇非偶函数.(3) 定义域为{-2,2},f(-x)=0=f(x)=-f(x),∴f(x)既是奇函数又是偶函数.温馨提示 第(2)小题易错解为: f(x)=(x-1)·=,f(-x)===f(x),∴f(x)为偶函数.二、函数奇偶性的综合应用【例 2】(1)若奇函数 y=f(x)是定义在［-1,1］上的减函数,且 f(1-a)+f(1-a2)＞0,求 a 的取值范围;(2)若 f(x)是定义在实数集 R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上是增函数,又 f(2a2+a+1)＜f(3a2-2a+1),求 a 的取值范围.思路分析：(1)去掉函数符号 f,等价变换出 a 的不等式.利用 f(x)为奇函数和减函数的性质.(2)利用 f(x)为偶函数的性质和证在(0,+∞)上为减函数,这个证明不可少.解：(1)由奇函数的性质,-f(1-a2)=f(a2-1),即 f(1-a)+f(1-a2)＞0 等价于 f(1-a)＞f(a2-1),又 f(x)是定义在［-1,1］上的减函数,得解之,得 1＜a≤.(2)任取 x1\,x2∈（0,+∞）且 x1＜x2,则-x1＞-x2. f(x)是区间(-∞,0)上的增函数,∴f(-x1)＞f(-x2).又 f(x)为偶函数,得 f(x1)＞f(x2),即 f(x)在(0,+∞)上是减函数,容易判断 2a2+a+1 和 3a2-2a+1 是两个正数.∴f(2a2+a+1)＜f(3a2-2a+1)等价于 2a2+a+1＞3a2-2a+1.解之,得 0＜a＜3.三、根据奇偶性求函数的解析式【例 3】已知 f(x)是奇函数,且当 x＞0 时,f(x)=x2-2x,求当 x＜0 时,f(x)的表达式.思路分析：函数只要设 x＜0,则-x＞0,再由奇函数定义进行转化.解：设 x＜0,则-x＞0,∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.又 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-(x2+2x)=-x2-2x.∴当 x＜0 时,f(x)=-x2-2x.温馨提示 此题易错解为: f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-(x2-2x)=-x2+2x.∴当 x＜0 时,f(x)=-x2+2x.应该注意:(1)在哪个区间求解析式,x 就设在哪个区间里;(2)然后要利用已知区间的解析式进行代入;(3)利用 f(x)的奇偶性,把 f(-x)写成-f(x)或 f(x),从而解出 f(x).各个击破类题演练 1设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,讨论 f(x)的奇偶性.解析：当 a=0 时,函数 f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x),∴f(x)为偶函数.当 a≠0 时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a)...