高中数学 第二章 函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.3 待定系数法课堂导学案 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学学案

2.2.3 待定系数法课堂导学三点剖析一、待定系数法求二次函数的解析式【例 1】根据下列条件求二次函数解析式.(1)该二次函数的图象过(0,1)、(1，-3)、(-1,3)三点；(2)该二次函数的图象过点(1,4)，且与 x 轴的交点为(-1,0)和(3,0)；(3)该二次函数的图象顶点为(1,4)，与 x 轴交于(-1,0)点.思路分析：(1)已知二次函数图象上的三点坐标，可设一般式.(2)已知二次函数的图象与 x 轴的交点，可设零点式.(3)已知二次函数图象的顶点，可设顶点式.解:(1)设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c,则解之,得 a=-1,b=-3,c=1，即所求二次函数为 y=-x2-3x+1.(2)设二次函数的解析式为 y=a(x+1)(x-3).又 图象过点(1,4),∴4=a2×(-2)a=-1,即所求二次函数解析式为 y=-x2+2x+3.(3)设所求二次函数为 y=a(x-1)2+4.又 图象过(-1,0),∴0=a(-1-1)2+4a=-1,即所求二次函数的解析式为 y=-x2+2x+3.二、待定系数法求一般函数的解析式【 例 2 】 f(x)=ax2+a2x+2b-a3, 当 x∈(-2,6) 时 ， f(x)>0 ； 当 x∈(-∞,-2)∪(6,+∞) 时 ，f(x)<0.求 a、b 及 f(x).思路分析：二次函数的零点是函数值大于 0 和小于 0 的分界点.先根据题目条件,把二次函数的零点求出来.解:当 a=0 时，显然不符合题设条件，故 a≠0，于是可由题设条件画出 f(x)的草图，如右图所示.由图知 x=-2 和 x=6 是方程 ax2+a2x+2b-a3=0 的两根，且 a<0，利用一元二次方程的根与系数的关系，得解之,得∴f(x)=-4x2+16x+48.温馨提示 注意二次函数与二次不等式之间的关系.三、用待定系数法解带参变量的函数问题【例 3】已知 a、b 为常数,若 f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则 5a-b=_____.思路分析：利用待定系数法及代数恒等式性质,求出 f(ax+b),再根据恒等式性质建立 a、b的方程求解.解: f(x)=x2+4x+3,∴f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3.又 f(ax+b)=x2+10x+24,∴解之,得或∴5a-b=2.答案：2各个击破类题演练 1设二次函数 f(x)满足 f(x+2)=f(2-x),且 f(x)=0 的两实数根平方和为 10,图象过点(0,3),求f(x)的解析式.解析：设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由 f(x+2)=f(2-x)知该函数的图象关于直线 x=2 对称.∴=2,即 b=-4a. ①又图象过点(0,3),∴c=3. ②又 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2=10.∴b2-2ac=10a2. ③解①②③,得 a=1,b=-4,c=3,故 f(x)=x2-4x+3.变式提升 1若 f{f［f(x)］}=27x+26,求一次函数 f(x)的解析式.解析：设 f(x)=ax+b,f［f(x)］=...