高中数学 第三章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.3 第2课时 函数的奇偶性（2）学案（含解析）新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学学案

第 2 课时 函数的奇偶性(2)[课程目标] 1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式；2.能利用函数的奇偶性与单调性分析，解决较简单的问题．知识点 函数奇偶性的性质 [填一填](1)奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0.(2)在公共定义域上奇函数 y＝f(x)与奇函数 y＝g(x)，则 y＝f(x)＋g(x)为奇函数，可简记为奇＋奇＝奇，类比上述结论，则有：奇－奇＝奇；偶＋偶＝偶，偶－偶＝偶；奇×奇＝偶；奇×偶＝奇；偶×偶＝偶．[答一答]函数 y＝f(x)在 x＝0 处有定义，且 f(0)＝0，则 f(x)一定是奇函数吗？提 示 ： 不 一 定 ， 如 f(x) ＝ x2 ， 满 足 f(0) ＝ 0 ， 但 它 是 偶 函 数 .类型一 利用奇偶性求函数值 [例 1] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x2＋2x＋m(m 为常数)，则 f(－3)＝________.[解析] 因为 f(x)为 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0，即 m＝0，所以 f(x)＝x2＋2x，故 f(3)＝32＋2×3＝15，又 f(x)为奇函数，所以 f(－3)＝－f(3)＝－15.[答案] －15本题中当 x≥0 时，函数解析式含参数 m，因此需利用奇函数在原点处有定义，则 f0＝0 的性质，求出 m 的值，然后根据奇函数性质求 f－3的值.[变式训练 1] 已知函数 f(x)＝是奇函数，则实数 a 的值为 2.解析：因为 f(x)的定义域为 R，且 f(x)是奇函数，所在 f(0)＝＝0，所以 a＝2，此时，f(x)＝是奇函数，符合题意，故答案为 2.类型二 利用奇偶性求函数 f(x)的解析式 [例 2] (1)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x2－2x－3，求 f(x)的解析式；(2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．[解] (1)设 x<0，则－x>0，所以 f(－x)＝(－x)2－2(－x)－3＝x2＋2x－3.又因为 f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝x2＋2x－3，所以 f(x)＝－x2－2x＋3(x<0)．当 x＝0 时，f(0)＝0，故 f(x)＝(2)设 x>0，则－x<0，由题意知 f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1.又因为 f(x)为偶函数，所以 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)＝－x3－x＋1(x>0)，故 f(x)的解析式为 f(x)＝利用函数奇偶性求解析式时的注意事项1求哪个区间上的解析式，就在哪个区间上取 x；2然后要利用已知区间的解析式写出 f－x；3利用 fx的奇偶性把 f－x写成－fx或 fx，从而解出 fx；,4...