第一课时 空间向量与平行、垂直关系平面的法向量[提出问题]1．如图(1)所示，直线 l∥m，在直线 l 上取两点 A，B，在直线 m 上取两点 C，D.2．如图(2)所示，直线 l⊥平面 α，直线 l∥m，在直线 m 上取向量 n.问题 1：AB与直线 l 有何关系？CD与直线 l 有何关系？提示：AB在直线 l 上，CD与直线 l 平行．问题 2：图(2)中，n 与直线 l 平行吗？提示：平行．问题 3：l⊥α，向量 n 也垂直于 α 吗？提示：垂直．[导入新知]1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．2．平面的法向量直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则 a 叫做平面 α 的法向量．[化解疑难]平面的法向量是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量.空间平行关系的向量表示[提出问题]由直线上一点和直线的方向向量可以确定直线的位置；由平面上一点和平面的法向量也可以确定平面的位置．问题 1：若直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 u，当 a∥u 时，l 与 α 有什么关系？若 a⊥u 呢？提示：a∥u 时，l⊥α；a⊥u 时，l∥α 或 l⊂α.问题 2：若 u，v 分别是平面 α，β 的法向量，则 u∥v，u⊥v 时，α，β 分别是什么位置关系？提示：u∥v 时，α∥β；u⊥v 时，α⊥β.[导入新知]1．线线平行设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则 l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．12．线面平行设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋ b 1b2＋ c 1c2＝ 0 .3．面面平行设平面 α，β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则 α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．[化解疑难]平行关系的判断(1)若证线线平行，则利用方向向量平行来证明；(2)若证线面平行，则证直线的方向向量与平面的法向量垂直；(3)若证面面平行，则证两平面的法向量平行.空间垂直关系的向量表示[提出问题]问题 1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？提示：垂直．问题 2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？提示：垂直．[导入新知]1．线线垂直设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋...
