第三讲 圆锥曲线性质的探讨单元整合知识网络专题探究专题一 正射影问题正射影的要求较平行射影要高，在以前的学习中也有一定的介绍，要求会作出某个图形在平面上的正射影(尤其是在三视图中更明显)，而平行射影只要求了解即可，常与简单几何体相联系，在选择题、填空题、解答题中均有可能出现，预计将来还会保持这种形式．画出一个图形在一个平面上的射影的关键是确定该图形的关键点如顶点等，画出这些关键点的射影，再依次连接即可得此图形在该平面上的射影．如果对平行投影理解不充分，对该类题目容易不知所措．避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成．【例 1】如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AA1，C1D1的中点，G 是正方形BCC1B1的中心，则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的射影可能是四个图中的__________．提示：要画出四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的射影，只需画出四个顶点 A，G，F，E在每个面上的投影，再顺次连接即得在该面上的射影，并且在两个平行平面上的射影是相同的．解析：在面 ABCD 和面 A1B1C1D1上的射影是图(1)；在面 ADD1A1和面 BCC1B1上的射影是图(2)；在面 ABB1A1和面 DCC1D1上的射影是图(3)．答案：(1)(2)(3)【例 2】P 是△ABC 所在平面 α 外一点，O 是点 P 在平面 α 内的正射影．(1)若 P 点到△ABC 的三个顶点等距离，那么 O 点是△ABC 的什么心？(2)若 P 点到△ABC 的三边距离相等，且 O 点在△ABC 的内部，那么 O 点是△ABC 的什么心？(3)若 PA，PB，PC 两两互相垂直，O 点是△ABC 的什么心？解：(1)若 PA＝PB＝PC，O 为 P 在平面 ABC 上的正射影，故有 OA＝OB＝OC，1∴O 为△ABC 的外心．(2)由 P 到△ABC 的三边距离相等，故有 O 到△ABC 的三边距离相等，∴O 为△ABC 的内心．(3)∵PO⊥平面 ABC，∴PA⊥BC，∴OA⊥BC.同理 OB⊥AC，OC⊥AB，∴O 为△ABC 的垂心．专题二 借助图形解决圆锥曲线问题圆锥曲线的定义、性质是高考的重点和热点，讨论圆锥曲线的性质时，借助图形的直观性，可以发现圆锥曲线的性质与图形之间的对应关系，从而找到解决问题的思路．【例 3】设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A． B．C． D．解析：设双曲线方程为－＝1，不妨设 F(c,0)，B(0，b)，kBF＝－，双曲线渐近线的斜率 k＝±.∵直线 BF 与一条渐近线垂直，∴－·＝－1.∴b2＝ac.又 a2＋b2＝c2，∴c2－ac－a2＝0.∴e2－e－1＝0.∴e＝(舍负值)，∴e＝，故选 D.答案：D2
