高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算第3课时换底公式与自然对数课堂导学案 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学学案

3.2.1 对数及其运算第 3 课时换底公式与自然对数课堂导学三点剖析一、利用换底公式进行求值【例 1】计算:(1)log1627log8132;(2)(log32+log92)(log43+log83).思路分析：在两个式子中,底数、真数都不相同,因而要用换底公式进行换底便于计算求值.解：(1)log1627log8132====.(2)方法一:(log32+log92)(log43+log83)=(log32+)()=(log32+log32)(log23+log23)=log32×log23=×=.方法二:原式=(==×××=.二、条件求值【例 2】已知 log1227=a,求 log616 的值.思路分析：此题用换底公式,将 log616 换成以 12 为底的对数,而已知 a=log1227 可转化为log123=,关键是 log122 的值,=22是一个重要转折,∴log12=log1222=2log122.解：∵log1227=a,∴log123=.∵log12=2log122=1-log123=1,∴log122=(1).∴log616===.三、恒等式的证明问题【例 3】求证:(1)logxylogyzlogza=logxa;(2)logbnlogca=logcb.思路分析：两题中的对数中,底数都不完全相同,故需用换底公式,由左边向右边的式子“靠近”.证明:(1)logxylogyzlogza===logxa.∴原式成立.(2)logbnlogca====logcb.∴原式成立.温馨提示 在利用换底公式进行计算、化简、证明时,要会正用公式,即从左到右,也要会逆用公式,即从右到左,更要会变用公式,不管怎样用公式,一定要从整体上把握公式的特点,方能用活公式.各个击破类题演练 1求值:(1)log23log95log58;(2)(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).解析：(1)原式===.(2)原式=()()==13.变式提升 1已知 log34log481log8m=log416,求 m 的值.解析：由条件知=2,2,∴2lgm=3lg2.∴lgm2=lg8.∴m2=8.又∵m>0,∴m=2.类题演练 2已知 log35=a,求 log1575.解析：log1575====.变式提升已知 log23=a,log37=b,求 log4256.解析：∵log23=a,∴log32=.∴log4256======.类题演练 3求证:logm(x+y+a)log(x+y+a)(y+z)log(y+z)m=1.证明:logm(x+y+a)log(x+y+a)(y+z)log(y+z)m==1.变式提升 3设 x、y、z∈(0,+∞)且 3x=4y=36,求证:=1.证明:∵3x=36,4y=36,∴x=log336，y=log436.∴=log363=log364.∴+=2log363+log364=log36(32×4)=1.∴+=1.