随机利率情形下多种股票的算术亚式看涨期权定价

随机利率情形下多种股票的算术亚式看涨期权定价随机利率情形下多种股票的算术亚式看涨期权定价 摘要：文章在随机利率情形下讨论了含多种股票投资的欧式未定权益定价问题。文章首先利用鞅方法给出了当投资于一种债券和多种股票且各自价格过程不完全互相独立时的算术平均执行价格型亚式看涨期权的定价公式。 关键词：随机利率；亚式看涨期权；鞅 一、模型提出 利率是否随机，可以通过债券价格的变化过程来表示。一般而言，常见的讨论未定权益定价的模型都将债券看做无风险的，即债券利率为无风险利率，是非随机的。而本文中构成未定权益的证券组合选择的是股票和零息债券。其中，零息债券 B（t，T）在到期日 T 时价格为 1，到期日之前的价格为 Ft 适应过程，且满足 dB（t，T）=B（t，T）[r（t）dt+b（t，T）dW（t）]， B（T，T）=1 其中{W（t），0?t?T}为完全概率空间（Ω，F，P）上的标准布朗运动，{Ft，0?t?T}为{W（t），0?t?T}产生的自然 σ-流（即信息流）。B（t，T）的取值与到期日 T 和之前的任意时刻 t 的取值相关，只有到 t 时刻才可知，事先不可准确预测，因此其利率表现为随机状态，与非随机利率中债券价格明确为时间 t 的确定性函数不同。 考虑模型（A）：设在金融市场中一投资组合包含一种零息债券和 n 种股票，其中债券价格遵循 dB（t，T）=B（t，T）[r（t）dt+b（t，T）dW1' （t）]，B（T，T）=1① 股票价格是 n 维 It?过程，且满足随机微分方程 dS（t）=S（t）[μ（t）dt+σ（t）dW'（t）]，S（0） =S0② 其中{W1'（t），0?t?T}，{W'（t），0?t?T}分别是定义在完全概率空间（Ω，F，P）上的一维和 n 维标准布朗运动，且W'（t）=（W2'（t），W3'（t），…Wn+1'（t））T。并有d〈W1'（t），Wi'（t）〉t=ρ1i（t）dt（0?|ρ1i（t）|<1），d〈Wi'（t），Wj'（t）〉t=ρ1i（t）dt（0?|ρ1i（t）|<1；2?i，j?n+1，i≠j），即该零息债券和这 n 种股票相互间都存在一定相关关系，两两互不独立。同时假设ρij（t）=ρ1i（t）ρ1j（t），（2?i，j?n+1，i≠j）。[S（t）]?diag{S1（t），S2（t），…Sn（t）}；r（t）∶R+→R+、b（t，T）∶R+→R（0?t?T）分别为债券的瞬时利率和瞬时波动率，μ（t）=（μ1（t），μ2（t）…μn（t））T、R+→Rn、σ（t）∶R+→M（n×n）（0?t?T）分别为股票的瞬时预期收益率和瞬时波动率。并且假定股票在投资期间支付红利，红利率 q（t）=（q1（t），q2（t），…qn（t））...