与抛物线有关的结论

与抛物线有结论 抛物线中有一些常见、常用的结论,了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题,在做解答题时也可迅速打开思路。结论一：若 AB 是抛物线的焦点弦(过焦点的弦），且，，则：，。证 明 : 因 为 焦 点 坐 标 为 F(， 0), 当 AB 不 垂 直 于 x 轴 时 ， 可 设 直 线 AB 的 方 程 为 ： ,由得: ∴,。当 AB⊥x 轴时，直线 AB 方程为，则，，∴，同上也有:。例：已知直线 AB 是过抛物线焦点 F，求证：为定值。证明:设，，由抛物线的定义知：，,又+=，所以+=—p，且由结论一知：。则: =（常数)结 论 二 ： （ 1 ） 若 AB 是 抛 物 线的 焦 点 弦 , 且 直 线 AB 的 倾 斜 角 为 α, 则（α≠0)。(2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短.证明：(1）设，,设直线 AB:由得：, ∴，，∴。易验证，结论对斜率不存在时也成立.（2）由（1）：AB 为通径时，，的值最大，最小。例:已知过抛物线的焦点的弦 AB 长为 12，则直线 AB 倾斜角为 .解:由结论二,12=（其中 α 为直线 AB 的倾斜角）， 则,所以直线 AB 倾斜角为或。结论三：两个相切:（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 (2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。已知 AB 是抛物线的过焦点 F 的弦,求证：（1)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。(2)分别过 A、B 做准线的垂线，垂足为 M、N,求证：以 MN 为直径的圆与直线 AB 相切。证明:（1)设 AB 的中点为 Q,过 A、Q、B 向准线 l 作垂线，垂足分别为 M、P、N,连结 AP、BP.由抛物线定义：，，∴，∴以 AB 为直径为圆与准线 l 相切(2）作图如（1）,取 MN 中点 P，连结 PF、MF、NF， ，AM∥OF，∴∠AMF=∠AFM，∠AMF=∠MFO,∴∠AFM=∠MFO。同理，∠BFN=∠NFO，∴∠MFN=（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO)=90°，∴，∴∠PFM=∠FMP∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP⊥AB∴以 MN 为直径为圆与焦点弦 AB 相切。结论四:若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于 A、B 两点,则 OA⊥OB。反之也成立。证明：设直线 AB 方程为：，由 得， △>0，， AO⊥BO，∴⊥∴BAMNQPyxOFOAMNPyxFB将，代入得,。∴直线 AB 恒过定点（0，1）。∴当且仅当 k=0 时,取最小值 1。结论五（了解）:对于抛物线,其参数方程为设抛物线上动点坐标为,为...