高中数学 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第2课时 均值不等式的应用学案（含解析）新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学学案

第 2 课时 均值不等式的应用关键能力·攻重难类型 用均值不等式证明不等式┃┃ 典例剖析 __■1．无附加条件的不等式的证明典例 1 已知 a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c.思路探究：由条件中 a，b，c>0 及待证不等式的结构特征知，先用均值不等式证＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，再进行证明即可．解析： a，b，c>0，∴利用均值不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故＋＋≥a＋b＋c，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．归纳提升：利用均值不等式证明不等式的注意点：(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立．(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用．(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不等式的条件．2．有附加条件的不等式的证明典例 2 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9.思路探究：本题的关键是把分子的“1”换成 a＋b，由均值不等式即可证明．解析：方法一：因为 a>0，b>0，a＋b＝1，所以 1＋＝1＋＝2＋.同理 1＋＝2＋.故(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)＝5＋2(＋)≥5＋4＝9.所以(1＋)(1＋)≥9，当且仅当 a＝b＝时取等号．方法二：(1＋)(1＋)＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，因为 a，b 为正数，所以 ab≤()2＝，所以≥4，≥8.因此(1＋)(1＋)≥1＋8＝9，当且仅当 a＝b＝时等号成立．归纳提升：利用均值不等式证明不等式的两种题型(1)无附加条件的不等式的证明．其解题思路：观察待证不等式的结构形式，若不能直接使用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用均值不等式的条件．(2)有附加条件的不等式的证明．观察已知条件与待证不等式之间的关系，恰当地使用已知条件，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．┃┃ 对点训练 __■1．已知 x>0，y>0，z>0，求证：(＋)(＋)(＋)≥8.证明： x>0，y>0，z>0，∴＋≥>0，＋≥>0，＋≥>0，当且仅当 x＝y＝z 时，以上三式等号同时成立．∴(＋)(＋)(＋)≥＝8，当且仅当 x＝y＝z 时等号成立．类型 利用均值不等式解决实际问题┃┃ 典例剖析 __■典例 3 如图所示，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原来的墙其他各面用钢筋网围成．(1)现有 36 m 长的钢筋网，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究...