2.4 函数与方程预习导航课程目标学习脉络1.了解函数零点的定义，并会求简单函数的零点．2．掌握判断一元二次方程根的存在及个数的方法．3．了解函数的零点与方程根的联系，能根据具体函数的图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解.1．函数的零点(1)定义：一般地，如果函数 y＝f(x)在实数 α 处的值等于零，即 f ( α ) ＝ 0 ，则 α 叫做这个函数的零点．(2)性质：① 当函数的图象通过零点且穿过 x 轴时，函数值变号．② 两个零点把 x 轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．思考 1 如何正确认识零点？提示：函数 y＝f(x)的零点是个实数，在函数图象上应该是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，虽称为“点”，但不是一个点．2．二次函数的零点与对应二次方程的实根个数之间的关系思考 2 二次函数没有零点的等价说法是什么？提示：二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 Δ＝b2－4ac＜0 时，函数 y＝f(x)没有零点，则函数 y＝f(x)的图象与 x 轴没有交点．思考 3 二次函数的零点最多只有两个吗？所有的二次函数都有零点吗？提示：二次函数的零点最多只有两个，因为二次函数对应的一元二次方程最多只有两个根．并不是所有的二次函数都有零点，这是因为不是所有的一元二次方程都有实数根，如函数 y＝x2＋2x＋2 就没有零点．3．零点存在的判断方法及分类(1)零点存在的判断方法：如果函数 y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 f ( a )· f ( b ) ＜ 0 ，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使 f ( x 0) ＝ 0 .(2)分类：思考 4 对于函数 f(x)，若满足 f(a)·f(b)＜0，则 f(x)在区间(a，b)内一定有零点吗？若 f(x)在区间(a，b)内有零点，则 f(a)·f(b)＜0 一定成立吗？提示：对于函数 f(x)，若满足 f(a)·f(b)＜0，则 f(x)在区间(a，b)内不一定有零点，如图(1)所示；若函数 f(x)在区间(a，b)内有零点，则不一定有 f(a)·f(b)＜0，如图(2)所示．4．求函数零点的近似值的一种计算方法——二分法(1)二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且 f ( a )· f ( b ) ＜ 0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)“二分法”求函数零点的一般步骤：已知函数 y＝f(x)定义在区间 ...
