高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面 2.3.4 平面与平面垂直的性质（2）学案（含解析）新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学学案VIP专享

第二课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质(习题课)1．直线与平面垂直的性质定理是什么？略2．直线与平面垂直的性质定理有什么作用？略3．平面与平面垂直的性质定理是什么？略4．平面与平面垂直的性质定理有什么作用？略线面、面面垂直的综合问题[例 1] 如图，已知直线 a⊥α，直线 b⊥β，且 AB⊥a，AB⊥b，平面 α∩β＝c.求证：AB∥c.[解] 证明：过点 B 作直线 a′∥a，a′与 b 确定的平面设为 γ.因为 a′∥a，AB⊥a，所以 AB⊥a′，又 AB⊥b，a′∩b＝B，所以 AB⊥γ.因为 b⊥β，c⊂β，所以 b⊥c.①因为 a⊥α，c⊂α，所以 a⊥c，又 a′∥a，所以 a′⊥c.②由①②可得 c⊥γ，又 AB⊥γ，所以 AB∥c.[类题通法]判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判定定理和性质定理，有时也可以放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)然后再判断它们的位置关系．[活学活用] 如图所示：平面 α，β，直线 a，且 α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB.求证：a⊥β.证明：如图， a∥α，过 a 作平面 γ 交 α 于 a′，则 a∥a′. a⊥AB，∴a′⊥AB. α⊥β，α∩β＝AB，∴a′⊥β，∴a⊥β.求点到面的距离[例 2] 已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝，又已知 S 是△ABC 所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝，点 P 是 SC 的中点，求点 P 到平面 ABC 的距离．[解] 法一：如图所示，连接 PA，PB.易知△SAC，△ACB 是直角三角形，所以 SA⊥AC，BC⊥AC.取 AB，AC 的中点 E，F，连接 PF，EF，PE，则 EF∥BC，PF∥SA.所以 EF⊥AC，PF⊥AC.因为 PF∩EF＝F，所以 AC⊥平面 PEF.又 PE⊂平面 PEF，所以 PE⊥AC.易证△SAC≌△SBC.因为 P 是 SC 的中点，所以 PA＝PB.而 E 是 AB 的中点，所以 PE⊥AB.因为 AB∩AC＝A，所以 PE⊥平面 ABC.从而 PE 的长就是点 P 到平面 ABC 的距离．在 Rt△AEP 中，AP＝SC＝，AE＝AB＝，所以 PE＝＝ ＝，即点 P 到平面 ABC 的距离为.法 二 ： 如 图 所 示 ， 过 A 作 AE∥BC ， 交 SC 于 点 E ， 过 B 作BF∥AC，交 AE 于点 D，则四边形 ACBD 为正方形．连接 SD.因为 AC⊥SA，AC⊥AD，SA∩AD＝A，所以 AC⊥平面 SDA.所以 AC⊥SD.又由题意，可知 BC⊥SB.因为 BC⊥BD，SB∩BD＝B，所以 BC⊥平面 SDB，所以 BC⊥SD.又 BC∩AC＝C，于是 SD⊥平面 ACBD.所以 SD 的长为点 S 到平面 ABC 的距离．在...