高中数学 第二章 解三角形 2 三角形中的几何计算学案（含解析）北师大版必修5-北师大版高中必修5数学学案

三角形中的几何计算Q\s\up7(情景引入) 我国南宋数学家秦九韶(约 1202～1261)独立地发现了求三角形面积的方法．他把三角形的三边分别叫作大斜、中斜、小斜(如图)，他在著作《数书九章》卷五中记述：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于以；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”用今天的符号来表示即是 S＝，你能用所学的知识证明这个结论吗？X\s\up7(新知导学) 三角形中的常用结论(1)A＋B＋C＝180°；(2)在三角形中大边对大角，反之大角对大边；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形内的诱导公式sin(A＋B)＝sin C ，cos(A＋B)＝－ cos C ，tan(A＋B)＝－ tan C ，sin＝cos，cos＝sin，tan＝；(5)在△ABC 中，tanA＋tanB＋tanC＝tan A ·tan B ·tan C .Y\s\up7(预习自测) 1．已知△ABC 周长为 20，面积为 10，A＝60°，则 BC 边长为( C )A．5 B．6C．7 D．8[解析] 由题设 a＋b＋c＝20，bcsin60°＝10，∴bc＝40.a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.∴a＝7.2．在△ABC 中，已知 B＝45°，c＝2，b＝，则 A 的值是( D ) A．15° B．75°C．105° D．75°或 15°[解析] ＝，∴sinC＝＝＝. 0°＜C＜180°.∴C＝60°或 120°，∴A＝75°或 15°.3．在△ABC 中，∠A＝60°，AB＝1，AC＝2，则 S△ABC的值为( B )A． B．C． D．2[解析] S△ABC＝AB·ACsinA＝sin60°＝.14．在△ABC 中，∠B＝30°，AB＝2，面积 S＝，则 AC＝2.[解析] S＝AB·BC·sinB，即＝×2×BC×sin30°，∴BC＝2.由余弦定理，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝(2)2＋22－2×2×2×，即 AC2＝4，∴AC＝2.5．若＝＝，则△ABC 的形状为等边三角形.[解析] 解法一：由正弦定理得＝＝，即 tanA＝tanB＝tanC， A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC 为等边三角形．解法二：由正弦定理得 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入＝＝得：＝＝，由＝得，sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin(A－B)＝0.又－π