高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.3.4 平面向量共线的坐标表示两向量平行的条件(1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则 a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .(2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果向量 b 不平行于坐标轴，即 x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔＝.用语言可以表述为：两个向量平行的条件是相应坐标成比例． 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)当b≠0 时，a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．(2)x1y2－x2y1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．(3)当 x2y2≠0 时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设 a＝(x1y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 等价于＝.( )(2)向量(1,2)与向量(4,8)共线．( )(3)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．下列各组向量相互平行的是( )A．a＝(－1,2)，b＝(3,5) B．a＝(1,2)，b＝(2,1)C．a＝(2，－1)，b＝(3,4) D．a＝(－2,1)，b＝(4，－2)解析：D 中，b＝－2a.答案：D3．已知 a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且 a∥b，则 m＝( )A．－9 B．9C．3 D．－3解析：因为 a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，若 a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得 m＝9.答案：B4．已知 A(1,2)，B(4,5)．若AP＝2PB，则点 P 的坐标为________．解析：设 P(x，y)，所以AP＝(x－1，y－2)，PB＝(4－x,5－y)，又AP＝2PB，所以(x－1，y－2)＝2(4－x,5－y)，即解得答案：(3,4)类型一 向量共线的判定例 1 (1)下列各对向量中，共线的是( )A.a＝(2,3)，b＝(3，－2)B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)C．a＝(，－1)，b＝(1，)D．a＝(1，)，b＝(，2)(2)已知点 A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB与CD平行吗？直线 AB 与直线 CD 平行吗？【解析】 (1)由向量共线的充要条件可知：非零向量 a 与 b 共线，当且仅当存在唯一实数 λ，使得 b＝λa.而只有 D 满足：因为 a＝(1，)，b＝(，2)，所以 b＝a.(2)因为AB＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，CD＝(2－1,7－5)＝(1,2)，因为 2×2－1×4＝0，所以AB∥CD.又AC＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2,6)，AB＝(2,4)，2×4－2×6≠0，所以AC与AB不平行．所以 A，B，C 不共线，AB 与 CD 不重合．所以直线 AB 与 CD ...