高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（二）导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.知识点一 平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律ab＝baa·b＝b·a正确结合律(ab)c＝a(bc)(a·b)c＝a(b·c)错误分配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c正确消去律ab＝bc(b≠0)⇒a＝ca·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c错误知识点二 平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)·(a－b)＝a2－b2(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a类型一 向量数量积的运算性质例 1 给出下列结论：①若 a≠0，a·b＝0，则 b＝0；②若 a·b＝b·c，则 a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④ a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________.答案 ④解析 因为两个非零向量 a、b 垂直时，a·b＝0，故①不正确；当 a＝0，b⊥c 时，a·b＝b·c＝0，但不能得出 a＝c，故②不正确；向量(a·b)c 与 c 共线，a(b·c)与 a 共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确.反思与感悟 向量的数量积 a·b 与实数 a、b 的乘积 a·b 有联系，同时有许多不同之处.例如，由 a·b＝0 并不能得出 a＝0 或 b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律.跟踪训练 1 设 a，b，c 是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②(b·c)·a－(c·a)·b 不与 c 垂直；③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的是________.(填序号)答案 ③解析 (a·b)·c 表示与向量 c 共线的向量，(c·a)·b 表示与向量 b 共线的向量，而 b，c不共线，所以①错误；由[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝0 知，(b·c)·a－(c·a)·b 与 c垂直，故②错误；向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以③正确.类型二 平面向量数量积有关的参数问题命题角度 1 已知向量垂直求参数值例 2 已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝ta＋(1－t)·b，且 b⊥c，则 t＝________.答案 2解析 由题意，将 b·c＝[ta＋(1－t)b]...