高中数学 第二章 平面向量 3.1 数乘向量学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案VIP专享

3．1 数乘向量内容要求 1.掌握向量数乘的运算及其运算律(重点).2.理解数乘向量的几何意义(重点).3.掌握向量共线的判定定理和性质定理(难点)．知识点 1 数乘向量的概念与运算律(1)数乘向量：① 定义：λa 是一个向量；② 长度：λ|a|；③ 方向：(2)数乘向量的运算律：①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)；②(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)；③λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若 λa＝0 则 λ＝0.(×)(2)若 a、b 是非零向量，λ，μ∈R.那么 λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0.(√)(3)0·AB＝0.(×)知识点 2 向量共线的判定定理与性质定理(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数 λ，使得 b＝λa，则向量 b 与非零向量a 共线．(2)性质定理：若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在一个实数 λ，使得 b＝λa.【预习评价】1．若 a∥b，b∥c，那么一定有 a∥c 吗？提示 不一定，若 b＝0，此时必有 a∥b，b∥c 成立，但 a 与 c 不一定共线．2．如果向量 a，b 共线，一定有 b＝λa(λ∈R)吗？提示 不一定．当 a＝0，b≠0 时，λ 不存在.题型一 向量数乘的定义【例 1】 已知 a、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)2a 的方向与 a 的方向相同，且 2a 的模是 a 的模的 2 倍；(2)－2a 的方向与 3a 的方向相反，且－2a 的模是 3α 模的倍；(3)－2a 与 2a 是一对相反向量；(4)a－b 与－(b－a)是一对相反向量．解 (1)真命题． 2a＝a＋a 与 a 方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|.(2)真命题． －2a＝(－a)＋(－a)与－a 同方向，3a＝a＋a＋a 与 a 同方向，由于－a 与 a反方向，故－2a 与 3a 反方向，又 |－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a 的模是 3a 模的倍．(3)真命题． －2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a 与 2a 是一对相反向量．(4)假命题． －(b－a)与 b－a 是一对相反向量，a－b 与 b－a 是一对相反向量，∴－(b－a)与 a－b 是相等的．规律方法 对数乘向量的四点说明(1)λa 的实数 λ 叫作向量 a 的系数．(2)向量数乘运算的几何意义是把 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向扩大或缩小．(3)当 λ＝0 或 a＝0 时，λa＝0.注意是 0，而不是 0.(4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．【训练 1】 已知 λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有( )①λ＜0，a≠0...