【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 第二章 平面向量章末分层突破学案 北师大版必修 4[自我校对]① 单位向量② 坐标表示③ 数乘向量④ 坐标⑤ 夹角公式________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1平面向量的线性运算1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算．2．向量线性运算的结果仍是一个向量．因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．3．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．4．题型主要有证明三点共线、两直线平行、线段相等、求点或向量的坐标等． 已知△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AB＝AC，D 是将 OB 分成 2∶1 的一个分点，DC 和OA 交于 E，设OA＝a，OB＝b(如图 2－1)，图 2－1(1)用 a，b 表示向量OC，DC；(1)若OE＝λOA，求实数 λ 的值．【精彩点拨】 (1)根据平行四边形法则求解．(2)结合三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理求解．【规范解答】 (1) A 为 BC 的中点，∴OA＝(OB＋OC)，∴OC＝2OA－OB＝2a－b，DC＝OC－OD＝OC－OB＝2a－b－b＝2a－b.(2)若OE＝λOA，则CE＝OE－OC＝λOA－OC＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b. CE与CD共线，∴存在实数 m，使得CE＝mCD，即(λ－2)a＋b＝m，∴(λ＋2m－2)a＋b＝0. a，b 不共线，∴解得 λ＝.[再练一题]1．(1)若 a，b 是不共线的两个向量，且 a 与 b 的起点相同，则实数 t 为何值时，a，tb，(a＋b)三个向量的终点在一条直线上？(2)已知 A(－1,1)，B(1,5)，C(x，－5)，D(4,7)，AB与CD共线，求 x 的值．【解】 (1)由题易知，存在唯一实数 λ.使得a－tb＝λ＝λa－λb，∴∴t＝，即当 t＝时，三向量共线．(2)AB＝(2,4)，CD＝(4－x,12)． AB∥CD，∴2×12＝4(4－x)，2∴x＝－2.向量的夹角、垂直及长度问题1.求夹角问题求向量 a，b 夹角 θ 的步骤：(1)求|a|，|b|，a·b；(2)求 cos θ＝(夹角公式)；(3)结...
