高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的简单几何性质学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案VIP专享

2.3.2 双曲线的简单几何性质学习目标：1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x ≥ a 或 x ≤ － a y ≤ － a 或 y ≥ a 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2 a ，虚轴长＝2 b 离心率e＝>1渐近线y＝±xy＝±x思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示] (1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝＝1＋，是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率 e＝.[基础自测]1．思考辨析(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点．( )(2)等轴双曲线的渐近线是 y＝±x.( )(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．双曲线－y2＝1 的顶点坐标是( )A．(4,0)，(0,1) B．(－4,0)，(4,0)C．(0,1)，(0，－1)D．(－4,0)，(0，－1)B [由题意知，双曲线的焦点在 x 轴上，且 a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]3．若双曲线－＝1(m＞0)的渐近线方程为 y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________. 【导学号：46342096】(－，0)，(，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为 y＝±x，∴m＝3，求得双曲线方程为－＝1，从而得到焦点坐标为(－，0)，(，0)．][合 作 探 究·攻 重 难]根据双曲线方程研究几何性质 (1)已知 a>b>0，椭圆 C1的方程为＋＝1，双曲线 C2的方程为－＝1，C1与 C2的离心率之积为，则 C2的渐近线方程为( )A．x±y＝0 B．x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0(2)求双曲线 nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[解] (1)椭圆 C1的离心率 e1＝，双曲线 C2的离心率 e2＝.由 e1e2＝·＝·＝，解得＝，所以＝，所以双曲线 C2的渐近线方程是 y＝±x，即 x±y＝0.[答案] A(2)把方程 nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，化为标准方程－＝1(m＞0，n＞0)，由此可知，实半轴长 a＝，虚半轴长 b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率 e＝＝＝.顶点坐标为(－，0)，(，0)．∴渐近线的方程为 y＝±x＝...