高中数学 阶段分层突破4.4学案 苏教版选修4-4-苏教版高二选修4-4数学学案

阶段分层突破 4.4参数方程参数方程与普通方程的互化将参数方程化为普通方程实质上就是消参的过程，常用的方法有代入消元、利用三角恒等式、整体消元法等，但一定要注意转化的等价性． 把下列曲线的参数方程化为普通方程，并指出方程所表示的曲线是什么曲线．(1)(t 为参数)；(2)(θ 为参数)．【解】 (1)两式相除，得 t＝，代入任何一个方程中化简，得 x2＋y2－2x＝0.∵t2≥0，∴0＜x≤2.∴普通方程为 x2＋y2－2x＝0(0＜x≤2)．该方程表示圆心在(1,0)，半径为 1 的圆除去点(0,0)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ，得 x2＝y＋1.∵|y|＝|sin 2θ|≤1，∴普通方程为 x2＝y＋1(－1≤y≤1)．该方程表示抛物线夹在两平行线 y＝1 和 y＝－1 之间的部分.参数方程的应用参数方程是研究曲线的辅助工具，多注重参数方程与普通方程的互化．参数思想在解题中有着广泛的应用，例如直线参数方程主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，在解决这类问题时，利用直线参数方程中参数 l 的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化． 过点 P(2,1)作直线 l 分别交 x 轴，y 轴的正方向于 A、B 两点，求 AP·BP 值最小时，直线 l 的方程．【解】 如图，设直线的倾斜角为 α(<α<π)，直线的参数方程为(t 为参数)．由于点 A 的纵坐标为 0，所以点 A 对应的参数 t1＝－；由于点 B 的横坐标为 0，所以点 B 对应的参数 t2＝－.从而 AP·BP＝|t1t2|＝＝.当|sin 2α|＝1，即当 α＝时，AP·BP 最小，此时直线 l 的方程为 x＋y－3＝0. 椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为，点 P(x，y)是椭圆上的一个动点，若 2x＋y 的最大值为 10，求椭圆的标准方程．【导学号：98990041】【解】 离心率为，设椭圆标准方程是＋＝1，它的参数方程为(θ 是参数)，2x＋y＝4ccos θ＋3csin θ＝5csin(θ＋φ)的最大值是 5c，由题意得 5c＝10，所以c＝2，所以椭圆的标准方程是＋＝1.