高中数学 第四章 导数应用 1.1 导数与函数的单调性学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案

1．1 导数与函数的单调性学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系思考 观察下列各图，完成表格内容函数及其图像切线斜率 k 正负导数正负单调性正[1，＋∞)上单调______R 上单调________负(0，＋∞)上单调______(0，＋∞)上单调______(－∞，0)上单调______梳理 一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上(1)如果 f′(x)>0，则 f(x)在该区间上是增加的．(2)如果 f′(x)<0，则 f(x)在该区间上是减少的．导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性>0____0____角____单调____<0____0____角____单调____知识点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数 y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数 y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？ 1 梳理 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些．类型一 原函数与导函数的关系例 1 已知函数 y＝f(x)的图像如图所示，则函数 y＝f′(x)的图像可能是图中的( )反思与感悟 (1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零．在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图像．(2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢．跟踪训练 1 已知 y＝f′(x)的图像如图所示，则 y＝f(x)的图像最有可能是如图所示的( )类型二 单调区间的求解及单调性证明命题角度 1 求函数的单调区间例 2 求 f(x)＝3x2－2ln x 的单调区间． 2 反思与感悟 求函数 y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数 y＝f(x)的定义域．(2)求导数 y′＝f′(x)．(3)解不等式 f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数．(4)解不等式 f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．跟踪训练 2 求函数 f(x)＝的单调区间． 命题角度 2 证明函数的单调性例 3 证明函数 f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数． 反思与感悟 利用导数证明不等式的一般步骤(1)构造函数：F(x)＝f(x)－g(x)．(2)求导：F′(x)＝f′(x)－g′(x)．(3)判断函数的单调性．(4)若 F(x)在区间上的最小值大于等于 0，则 f(x)≥g(x)；若 F(x)在区间上的最大值小于...